Лекция №15 Интегральные оценки качества переходных процессов. Частотные методы оценки качества регулирования

ЛЕКЦИЯ №15


Интегральные оценки качества переходных процессов.
Частотные методы оценки качества регулирования

Интегральные оценки качества являются интегралами по времени от некоторых функций переходного процесса свобод­ной составляющей выходной величины или ошибки . Цель использования таких критериев состоит в том, чтобы получить общую оценку быстродействия и отклонения регулируемой величины от установившегося значения. Широко Используются линейные и квадратичные интегральные оценки.

Линейные оценки вычисляются по формуле
(4.46)

Рис. 4.19. Рис. 4.20

Однако чаще используют моменты i-го порядка, т. е. оценки вида

(4.47)
(4.48)
(4.49)
Простейшей из этих оценок является (4.47). Если си­стема устойчива, то , интеграл стремится к конечному значению, равному площади под кривой (рис. 4.19). Чем выше быстродействие системы, тем меньше величина , поэтому параметры системы следует выбирать так, чтобы стремился к минимуму, т. е. d /dA=0, где А - варьируемый параметр системы. Недостатком этой оценки является то, что она применима к монотонным или апериодическим процессам. При колебательном процессе (рис. 4.20) площади, ограниченные , складывают алге­браически и минимуму может соответствовать процесс с большим числом колебаний n, т. е., с малым быстродействием и даже с незатухающими колебаниями.
Для изображение по Лапласу

Сравнивая это выражение с (4.47) для , можно записать
(4.50)
Разложим в ряд по степеням st:
(4.51)
Подставим (4.51) в выражение для определения , т. е.
(4.52)
Если разложить по степеням s в ряд:
(4.53)
то, сопоставляя (4.52) и (4.53), можно сделать следующее за­ключение, приравнивая выражения при равных степенях s:
(4.54)
(4.55)
…………………………………………………….


(4.56)
Если сравнить результаты (4.50), (4.54)-(4.56) с коэффициентами ошибок, приведенными в § 4.2, то где С₀, С₁, …, C_n – коэффициенты ошибок.
Квадратичные интегральные оценки вычисляются по формулам
(4.57)
(4.58)
……………………………………………………..
(4.59)

где ……., – постоянные величины.

Оценки ……, называют обобщенными квадратичными оценками.
Геометрический смысл интегральной квадратичной оценки пояснен на рис. 4.21. Выбирая параметры системы по миниму­му квадратичной интегральной оценки приближаем кри­вую к осям и t.
Методы вычисления этих оценок предложены А. И. Ман­дельштамом и Н. Д. Папалекси в 1909 г. В 1937 г. акад. А. А. Харкевич применил эту оценку для исследования режимов работы усилителей, в 1948 г. А. А. Красовский и А. А. Фельдбаум использовали ее для исследования качества линейных систем автоматического регулирования.
Рассмотрим методы вычисления квадратичных интеграль­ных оценок . По определению,

По теореме о предельных переходах,

следовательно,

Поскольку – дробно-рациональная функция, то и H(s) можно записать в виде . дробно-рациональной функции:
(4.60)