Модель ядерных оболочек

МОДЕЛЬ ЯДЕРНЫХ ОБОЛОЧЕК
1. Модель ядерных оболочек

Атомное ядро представляет собой квантовую систему многих тел, сильно взаимодействующих друг с другом. Поэтому описание такой системы, исходя из первопринципов, является трудной задачей. С одной стороны, число нуклонов в ядре не столь велико, чтобы можно было использовать методы статистической физики. С другой стороны, распространение микроскопических расчетов даже на системы 3, 4, 5 нуклонов встречает принципиальные трудности. Кроме того, мы знаем, что основные строительные блоки ядра — протон и нейтрон — являются сложными структурными образованиями трех валентных кварков. Поэтому последовательное решение проблем структуры атомных ядер возможно только в рамках квантовой хромодинамики. В этой связи для описания динамики ядерной материи широко используются различные ядерные модели, каждая из которых имеет ограниченную цель — описать какую-то определенную совокупность свойств атомного ядра.

Модели ядра можно разбить на два больших класса — микроскопические (рассматривающие поведение отдельных нуклонов в ядре) и коллективные (рассматривающие согласованное, скоррелированное движение больших групп нуклонов в ядре). Пример коллективной модели ядра — модель жидкой капли. Уже в рамках этого достаточно упрошенного представления удалось получить весьма полезную формулу Вайцзеккера (6.9) для энергии связи ядра.
Среди микроскопических ядерных моделей выделяется модель ядерных оболочек. Она аналогична модели атомных оболочек, в которой задача многих тел сведена к одночастичной задаче - движению невзаимодействующих друг с другом электронов, подчиняющихся принципу Паули, в кулоновском поле ядра. Применение подобного подхода к ядру, однако, кажется неправомерным. Ядро — это система сильно взаимодействующих плотно упакованных нуклонов. Ядерное поле создается внутренними короткодействующими межнуклонными силами. Нуклоны в ядре должны часто сталкиваться и обмениваться энергиями. Средняя длина свободного пробега нуклона в ядре должна быть меньше радиуса ядра. Все это приводит к выводу о невозможности движения нуклонов внутри ядра по устойчивым орбитам, с долго сохраняющимися квантовыми числами, т.е. нахождения их на определенных оболочках. Однако факты свидетельствуют в пользу существования в атомных ядрах оболочечной структуры.
Основной факт, подтверждающий оболочечное строение ядра, — это «магические числа» протонов и нейтронов. Приведем основные экспериментальные факты в пользу существования магических чисел:

• 
  Повышенная распространенность магических ядер.
  
• 
  Относительное уменьшение массы магических ядер.
  
• 
  Увеличение энергии отделения нуклона в магических ядрах.
  

Резкое увеличение энергии первого возбужденного состояния у ядер с магическим числом нейтронов и (или) протонов (рис.1).
Ядра, у которых магическими являются числа протонов и нейтронов, называют дважды магическими. Например, ядра  , .
Магическим числам нуклонов, как уже отмечалось выше, отвечают ядра с заполненными оболочками, демонстрирующие особую устойчивость, подобно благородным газам, имеющим заполненные атомные оболочки. Оболочечная структура ядра свидетельствует о том, что нуклоны в ядре во многом ведут себя как независимые частицы в потенциальной яме.
Возможность использования модели оболочек для описания свойств атомного ядра означает, что многочастичная ядерная задача допускает такую формулировку, при которой усреднение отдельных короткодействующих межнуклонных потенциалов внутри ядра сводится к возникновению почти одинакового для всех нуклонов потенциала притяжения (яме), причем нуклоны в этой яме можно приближенно рассматривать как независимые частицы. Таким образом, ядро по своей внутренней структуре в первом приближении представляет не жидкость, а скорее идеальный газ фермионов, заключенный в объем ядра.

Фундаментальная роль в применимости модели оболочек к ядрам принадлежит принципу Паули. Этот принцип существенно ограничивает возможности взаимодействия между двумя фермионами при низких энергиях. В основном состоянии ядра нижние одночастичные уровни вплоть до некоторой энергии (уровня Ферми) заполнены. Взаимодействие двух нуклонов с изменением их состояния требует их перехода на новые энергетические уровни. При этом, если один нуклон увеличивает свою энергию и переходит в более высокое свободное состояние, то другой должен уменьшить энергию и обязан занять более низкое состояние. Но все нижние состояния уже заполнены и на них не может появиться дополнительный фермион. Таким образом, нуклоны продолжают находиться в прежних состояниях и длина свободного пробега нуклона становится больше диаметра ядра. Возникает условие для устойчивых нуклонных состояний.

Будем рассматривать «сферическую» модель оболочек, когда нуклоны находятся в сферически симметричной потенциальной яме  . Пренебрегаем кулоновским взаимодействием. Рассмотрим три вида модельного потенциала (рис.2):

Прямоугольная потенциальная яма

 (1)

Потенциал гармонического осциллятора

 (2)

где М- масса нуклона, а  – осцилляторная частота.

Потенциал Вудса-Саксона

 (3)

Потенциал Вудса-Саксона наиболее близок к реальному ядерному потенциалу. Он является отражением распределения Ферми плотности ядерного вещества. Такая аппроксимация формы ядерного потенциала оправдана малым радиусом действия нуклон-нуклонных сил. В потенциале (3), как и в распределении Ферми ,  . Что касается глубины ядерной потенциальной ямы V₀, то она увеличивается при переходе от легких ядер к тяжелым. В легких ядрах (А < 40) V₀= 20-30 МэВ, в средних ядрах (А= 40-100) V₀ = 30-40 МэВ и в тяжелых ядрах (А > 100) V₀ = 40-50 МэВ.

Если выбран модельный потенциал, то далее все сводится к решению уравнения Шрёдингера для отдельного нуклона. Пусть  — гамильтониан ядра, a  — гамильтониан отдельного нуклона (с индексом  ). Тогда имеем

Где

 (4)

Уравнение Шрёдингера для отдельного нуклона

 (5)

Так как гамильтониан  одинаков для всех нуклонов, то запишем

 (6)

Волновая функция нуклона  описывающая его орбитальное движение, имеет вид

 (7)

где п — радиальное квантовое число (n = 1, 2, 3,...), l — орбитальный момент нуклона, m — его проекция на ось z. При фиксированном l энергия  нуклона тем больше, чем больше число п. Состояние нуклона обозначают в виде комбинации п (буква) l (число). Последовательность одночастичных уровней зависит от V(r).

На рис. 3 слева показана схема уровней для потенциала Вудса—Саксона. Ядерные оболочки обычно обозначают по уровням гармонического осциллятора: 1s-оболочка, 1p-оболочка, 1d2s-оболочка, 1f2p, 1g2d3s и т.д.
Энергия ядра в модели оболочек является суммой одночастичных энергий нуклонов, а волновая функция ядра может быть представлена с учетом требований симметрии, налагаемых принципом Паули, в виде произведения волновых функций отдельных нуклонов.
Заполнение оболочек нуклонами происходит в соответствии с принципом Паули. В основном состоянии должны быть заняты самые нижние уровни. При этом одночастичные уровни для протонов и нейтронов заселяются независимо. Число нуклонов одного типа  на одночастичном уровне дается формулой

 (8)

где (2l+1) – число ориентаций вектора  ,

2 – число ориентаций спина нуклона 
Уровни гармонического осциллятора эквидистантны. Расстояние между ними дается выражением

 (9)

при  (радиуса ядра R рассчитывается по формуле (6.21))

Рис.3. Схематическое изображение одночастичных уровней в сферически-симметричном потенциале: слева без учета спин-орбитального взаимодействия, справа — с учетом. Фигурные скобки объединяют уровни, входящие в одну осцилляторную оболочку. В круглых скобках дано число вакантных мест на уровне для нуклонов одного типа, в квадратных скобках приведено суммарное число нуклонов одного типа, если заполнены все уровни вплоть до данного включительно.

Из (9) видно, что с ростом числа нуклонов А «плотность» оболочек растет (расстояние между оболочками уменьшается). Так, если при  имеем  МэВ, то при получаем  МэВ. Этот эффект хорошо виден на рис .4.

Уровни гармонического осциллятора характеризуются вырождением по орбитальному моменту нуклона. В потенциале Вудса-Саксона снимается вырождение по орбитальному моменту нуклона в пределах одной оболочки и происходит перегруппировка высоких одночастичных уровней. Оболочками в случае произвольного потенциала следует считать группы близко расположенных одночастичных уровней.

Пользуясь формулой (8), можно найти максимальное число нуклонов одного типа на уровне и максимальное число нуклонов одного типа в ядрах с заполненными оболочками. Эти последние числа должны отвечать магическим ядрам. Для потенциалов гармонического осциллятора, прямоугольной ямы и ямы промежуточной формы (типа Вудса-Саксона) получаем следующие магические числа: