n \u003d x n + n / (ax n-1) + (a x n-2) + …(a n x n-m) + … yoki ixcham shaklda n belgisi yordamida! =

Nyutonning binomial formulasidan foydalanib, yig'indini hisoblang

Nyuton tomonidan kashf etilgan binomialning istalgan darajasini ifodalovchi algebraik formula, xususan:

(x + a) n \u003d x n + n / 1 (ax n-1) + (a 2 x n-2) + …(a n x n-m) + …
yoki ixcham shaklda n belgisi yordamida! = 1.2.3…n:
(x + a) n = ∑ m (!x n-m a m
Bu formula birinchi marta 1676 yilda Nyuton tomonidan isbotsiz berilgan. U Londonning Vestminster abbatligidagi Nyuton qabrida o'yilgan, ammo bu Nyutonning eng muhim kashfiyotlaridan biri emas.

Butun son koʻrsatkichi uchun B. formulasini isbotlash oson, koʻproqdan maxsus holat sifatida umumiy formula (https://hiddenshell.ru/uz/ploshchad-treugolnika-formula-4-ploshchad-treugolnika-i-chetyrehugolnika/), binomiallarning ixtiyoriy sonining ko'paytmasini ifodalash. To'g'ridan-to'g'ri ko'paytirish orqali n = 2 yoki n = 3 holatlari uchun quyidagi formulaga mos kelishini tekshirish oson:
(x + a 1) (x + a 2) ... (x + a n) \u003d x n + S n 1 x n-l + S n 2 x n-2 + ... + S n n
Bu erda S n 1 - berilgan a 1, a 2 miqdorlarining yig'indisi. . . va n, S n 2 ularning mahsuloti ikkiga yig'indisi, - S n n bu barcha miqdorlarning mahsulotidir. Va keyin isbotlash mumkinki, agar bu n uchun to'g'ri bo'lsa, u holda n + 1 omillar uchun ham to'g'ri. Chunki bitta omil x + a n + 1 qo'shilsa, biz to'g'ridan-to'g'ri ko'paytirish orqali olamiz

(x + a 1)(x + a 2)…(x + a n-1) = x n-1 + (S n 1 + a n+1)x n + (S n 2 + S n 1 a n- 1)x n-1 + … + S n n a n
va shu bilan birga, bu aniq
S n 1 + a n+1 + 1 = S 1 n+1
S n 2 + S n 1 a n+1 = S 2 n+1
va hokazo, shuning uchun oxirgi tenglikning o'ng tomoni bo'ladi
x n+1 + S 1 n+1 x n + S 2 n+1 x n-1 + … + (S n+1) n+1
va hokazo. Endi hamma narsaga ruxsat bering a bir-biriga teng va teng, masalan, a, keyin:
S 2 \u003d a 2 ...