O'sish va kamaytirish funktsiyalari monotonlik belgilari ekstremal nuqtalar. Ekstrema uchun zaruriy shart. Ekstremum uchun yetarli shart

Mavzu 3/1. Funksiyaning monotonligi va ekstremalligi.

• O'sish va kamaytirish funktsiyalari. monotonlik belgilari.
• ekstremal nuqtalar. Ekstrema uchun zaruriy shart.

3. Ekstremum uchun yetarli shart.

a
b
x2 > x1 ⇒ _ _
f ( x 2 ) > f ( x 1 )
x2 > x1 ⇒ _ _
f ( x 2 ) < f ( x 1 )

• O'sish va kamaytirish funktsiyalari. monotonlik belgilari.

Funktsiyani oshirish belgisi.
y=f(x) funksiya oraliqda o‘sishi uchun funktsiyaning hosilasi shu oraliqda musbat bo‘lishi zarur va yetarli.
Funktsiyaning kamayishi belgisi.
y=f(x) funksiya oraliqda kamayishi uchun funksiya hosilasi shu oraliqda manfiy bo‘lishi zarur va yetarli.
f ( x ) <=> f ′ ( x ) > 0
f ( x ) <=> f ′ ( x ) < 0
Ta'rif. Agar x 0 nuqtasining ba'zi qo'shnilarida tengsizlik bo'lsa, x 0 nuqtasi maksimal nuqta ( max) deb ataladi. f ( x 0 ) > f ( x ) .
x
f ( x )
x 0 - maksimal nuqta, f ( x 0 ) - maksimal
2. Ekstremal nuqtalar. Ekstrema uchun zarur shart
Ta'rif. Agar x 0 nuqtaning ba'zi qo'shnilarida tengsizlik bo'lsa, x 0 nuqtasi minimal nuqta ( min) deb ataladi.
f ( x 0 ) < f ( x ) .
x
f ( x )
x 0 - minimal nuqta, f ( x 0 ) - minimal
a
b
x 1
x2 _
x 3
x4 _
Funksiya ekstremumining zaruriy sharti
(Fermat teoremasi). Agar x 0 funktsiyaning ekstremum nuqtasi bo'lsa va unda hosila mavjud bo'lsa, u holda bu nuqtada 0 ga teng.
Teorema (ekstremum mavjudligi uchun 1-etarli shart).
Mayli x 0 - funksiyaning kritik nuqtasi y=f(x) (ya'ni yoki mavjud emas) .
Agar orqali o'tayotganda hosila x 0 keyin belgini o'zgartiradi x 0 nuqta hisoblanadi ekstremum.
3. Funksiya ekstremumining yetarli sharti.
+
-
x0 _
, keyin x 0 - m.maks
x0 _
+
-
, keyin x 0 - m.min
Monotonlik va ekstremal funktsiyani o'rganish sxemasi.
1. Toping
2. 1-turdagi tanqidiy nuqtalarni toping.
f ′ ( x ) = 0 tenglamasini yeching )
3. da hosila belgilarini belgilang
tanqidiy nuqtalardan o'tish va
ekstremal nuqtalarni aniqlang.
4. Nuqtalardagi funksiya qiymatlarini toping
ekstremum.
Misol. Funktsiyani o'rganish
monotonlik, ekstremal nuqtalar bo'yicha.
-1
3
0
0
+
-
+
Maks
16
Min
-16

Yuqori tartibli hosilalar yordamida ekstremumni tekshirish.

Teorema (ekstremum mavjudligi uchun 2-etarli shart).
Funktsiyaning kritik nuqtasi x 0 bo'lsin , bular. yoki mavjud emas.
x 0 nuqtada funksiyaning ikkinchi hosilasi bo'lsa musbat, keyin x 0 - minimal ball.
x 0 nuqtadagi ikkinchi hosilasi manfiy bo'lsa, u holda x 0 maksimal nuqtadir.
Misol funksiyasi
2-etarli shartga muvofiq ekstremum nuqtalarni o'rganing.
O'z-o'zini o'rganish vazifasi:
1) funktsiyani monotonlik va ekstremallik uchun tekshiring (2 usul)
Funktsiya berilgan