O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus
Download 1.17 Mb. Pdf ko'rish
|
10-Qozoqboyeva Nilufar (funan kurs ishi) (2)
- Bu sahifa navigatsiya:
- Funksional analiz , algebra va analitik geometriya ʺ kafedrasi
- Funksional analiz» fanidan “Kompakt topologik fazolarning uzluksiz akslantirishlari”
- Mundarija
- Kirish
- 2. Uzluksiz funksionalning xossalari.
- 3. Kantor teoremasi.
|
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI Berdaq nomidagi Qoraqalpoq davlat universiteti
Matematika fakulteti
ʺ Funksional analiz , algebra va analitik geometriya ʺ kafedrasi Matematika ta’lim yo’nalishining 3-“A” guruhi talabasi
Qozoqboyeva Nilufarning
«Funksional analiz» fanidan “Kompakt topologik fazolarning uzluksiz akslantirishlari” mavzusi bo’yicha
KURS ISHI
Bajardi: Qozoqboyeva N. Ilmiy rahabr: Kalandarov T.
Nukus – 2020
Mundarija Kirish……………………………………………………………. 3
1- § Kompaktlik………………………………………………………… 4
2- § Kompakt to’plamlar va uzluksiz akslantirishlar…………………. 6
3- § Topologik fazolarning ta’rifi va misollar……………………….. 8
4- § Topologik fazolarda kompaktlik…………………………………. 10
5- § Topologik fazolarni uzluksiz aks ettirish………………………... 17
Xulosa…………………………………………………………………. 19 Foydalanilgan adabiyotlar……………………………………………. 20
2 Kirish Funksional analiz hozirgi zamon matematikasining muhim sohalaridan biridir. U matematikaning bir necha sohalari ( jumladan, matematik analiz, funksiyalar nazariyasi, integral va differensial tenglamalar nazariyasi , variatsion hisob) chegarasida , ularning tushunchalari va metodlarini umumlashtirilishi natijasida XX asr boshlarida yangi va mustaqil soha sifatida vujudga keldi. Funksional analizda, odatda, funksional fazolar bir necha o’zaro uzviy bog’langan turli matematik strukturalar kiritilgan holda quriladi. Funksional fazolarning bu tarzda qurilishi funksional analizda turli metodlarni, ayniqsa , analitik va topologik metodlarni qo’llanish imkonini beradi. Mening kurs ishim mavzusi “ Kompakt topologik fazolarda uzluksiz aks ettirish” hisoblanadi. Bunda biz Kompaktlik haqida tushuncha va teoremalarini isboti bilan o’rganamiz. Keyin Kompakt to’plamlar va uzluksiz akslantirishlar haqida ma’lumot berib, Kantor teoremasini isboti bilan o’rganamiz. Undan keyin Topologik fazolarning ta’rifini va misollarini keltirib o’tamiz. Keyin esa Topologik fazolarda kompaktlik bunda biz topologik fazo haqida va masalalarning yechimi bilan o’rganamiz. Oxirida esa Topologik fazolarni uzluksiz aks ettirish ta’rifi va teoremalarini o’rganamiz. Kurs ishida mavzu qisqacha bo’lsada yoritilib berishga harakat qilindi.
3
1- §. Kompaktlik topologik fazo bo’lsin. Agar A to’plam va biror
to’plamlar sistemasi uchun A⸦ munosabatda bajarilsa,
ham A uchun qoplama bo’lsa , u qism qoplama deyiladi. Agar
qoplamaga kiruvchi har bir to’plam ochiq bo’lsa, bu qoplama A uchun ochiq qoplama deyiladi.
Ta’rif. Agar A to’plamning ixtiyoriy ochiq qoplamasidan chekli qism qoplama ajratib olish mumkin bo’lsa, A kompakt to’plam deyiladi.
qism to'plamlar sistemasi berilgan bo'lsin. Agar bu sistemaning ixtiyoriy chekli qism sistemasining kesishmasi bo’sh bo’lmasa, bunday sistema markazlangan sistema deyiladi.
1-teorema. topologik fazo kompakt bo’lishi uchun undagi yopiq to’plamlardan iborat har qanday markazlangan sistemaning kesishmasi bo’sh bo’lmasligi zarur va kifoyadir.
Isboti. Agar
ochiq to‘plamlardan iborat sistema bo‘lsa, u holda
sistema yopiq to‘plamlardan iborat. Teoremaning isboti quyidagi duallik prinsipidan bevosita kelib chiqadi: ixtiyoriy
uchun X \
2-teorema. Kompakt fazoning yopiq qism to‘plami kompakt to‘plamdir.
sistema F ning yopiq qism to‘plamlaridan iborat ixtiyoriy markazlangan sistema bo‘lsin. U holda har bir to‘plam X da ham yopiq bo‘ladi va demak, sistema X dagi uning yopiq to‘plamlaridan iborat markazlangan sistemadir. Bundan
ekanligi kelib chiqadi. 1-teoremadan F ning kompakt ekanligi kelib chiqadi.
3-teorema. Xausdorf fazosining kompakt qism to‘plami yopiqdir. Isboti. X Xausdorf fazosi, K esa uning kompakt qism to‘plami bo‘ lsin.
Ixtiyoriy nuqtani olamiz; unda har bir nuqta uchun x va y larning mos ravishda shunday ochiq bo‘lgan va
sistema K uchun ochiq qoplama, demak, uning chekli
4
qism qoplamasi mavjud. Endi va
ochiq to‘plamlarni olsak, u holda to‘plam y nuqtaning ochiq atrofi bo‘lib, ; bundan
ekanligi , ya’ni munosabat kelib chiqadi. Shunday qilib,
munosabat isbotlandi. To’plam yopilmasining xossalariga ko’ra
tenglik kelib chiqadi. Kompakt fazolarning uzluksiz aks ettirishlari qator muhim xosslarga ega.
4-teorema. Kompakt fazoning uzluksiz aks ettirishdagi tasviri kompakt fazodir.
bo‘lsin. f(X) fazoning ixtiyoriy ochiq qoplamasini olamiz, ya’ni
. So‘nggi munosabatdan X= tenglik kelib chiqadi.
Bundan va f ning uzluksizligidan sistema X ning ochiq qoplamasi ekanligi kelib chiqadi va, demak, undan chekli qism qoplamani ajratib olish mumkin, ya’ni ushbu tenglikni yozishimiz
mumkin. Bundan f(X)= tenglik kelib chiqadi, ya’ni
sistema f(X) ni qoplaydi, demak, f(X) kompaktdir.
5–teorema. X kompakt fazoni Y Xausdorf fazosiga o‘zaro bir qiymatli va uzluksiz aks ettirish gomeomorfizm bo‘ladi.
kifoya. F to‘plam X ning yopiq qism to‘plami bo‘lsin. 2- teoremaga ko‘ra kompaktdir. Endi 4-teoremani qo‘llab , f(F) ning kompakt
ekanligini ko‘ramiz, va, nihoyat, 3- teoremaga ko‘ra f(F) yopiqdir. Demak, ixtiyoriy F yopiq to‘plam uchun yopiqdir.
6–teorema. X kompakt fazoda f uzluksiz funksiya berilgan bo‘lsin. U holda f fuksiya X fazoda chegaralangan bo‘lib, o‘zining aniq yuqori va quyi chegaralariga ega.
5 fazosi bo‘lmish R ga uzluksiz aks ettirish demakdir. 4- teoremaga ko’ra kompakt. Bundan f(X) ning R da chegaralangan va yopiq to‘plam ekanligi kelib chiqadi, va demak, f funksiya X da o‘zining aniq yuqori chegarasiga va aniq quyi chegarasiga erishadi.
2- §. Kompakt to’plamlar va uzluksiz akslantirishlar
1. Kompakt to’plamning uzluksiz akslantirishdagi obrazi haqida. 1-teorema. Kompakt to’plamning uzluksiz akslantirish natijasidagi obrazi kompakt to’plam bo’ladi.
Isboti. Aytaylik , M kompakt to’plam va T:M uzluksiz akslantirish bo’lsin. U holda to’plamning kompakt ekanligini isbotlaymiz.
ketma - ketlik olib, orqali
nuqtaning T akslantirishdagi proobrazini belgilaymiz: . U holda M to’plamdagi ketma - ketlikka ega bo’lamiz. M kompakt to’plam bo’lganligi sababli bu ketma - ketlikdan M to’plamning biror c nuqtasiga yaqinlashuvchi qism ketma- ketlik ajratib olish mumkin . T akslantirishda bu qism ketma- ketlik ning qism ketma - ketlikka o’tadi. T akslantirishning c nuqtada uzluksizligidan
.
Shunday qilib, to’plamdan olingan xar bir ketma - ketlik ning elementiga yaqinlashuvchi qism ketma - ketlikka ega. Bu esa to’plamning kompakt ekanligini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.
Aytaylik , ( metrik fazoda f uzluksiz funksional berilgan bo’lsin.
2-teorema. f funksional M ⸦ X kompakt to’plamda chegaralangan hamda o’zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi.
Isbot. 1- teoremaga asosan , f funksionalning qiymatlar to’plami f (M) = E , kompakt to’plam bo’ladi. Demak , E chegaralangan ya’ni shunday a va b sonlar topilib , a bo’ladi. Bundan f funksionalning M da chegaralanganligi kelib chiqadi.
E to’plam chegaralangan . Shuning uchun uning aniq yuqori va aniq quyi chegaralari mavjud . Endi belgilash kiritamiz va 0 ga yaqinlashuvchi ketma - ketlikni olamiz. Aniq yuqori chegaraning ta’rifiga ko’ra , ketma - ketlikning har bir hadi uchun M to’plamga tegishli shunday nuqtalar
topilib , bu nuqtalar uchun
- (n= 1, 2,…) (1)
tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Hosil bo’lgan ketma - ketlikdan M to’plamning nuqtasiga yaqinlashuvchi qism ketma - ketlik ajratamiz . Bu nuqtada f funksional uzluksiz . Shu sababli bo’ladi . Demak , f funksional o’zining eng katta qiymatini qabul qiladi. Shunga o’xshash , f funksionalning eng kichik qiymatga erishishi isbotlanadi. Teorema isbot bo’ldi.
( metrik fazoda uning biror M qism to’plami va f funksional berilgan bo’lsin.
Ta’rif . Agar ixtiyoriy uchun shunday
topilsaki shartni qanoatlantiruvchi har qanday uchun
-
tengsizlik bajarilsa , u holda f funksional M to’plamda tekis uzluksiz deyiladi . M to’plamda tekis uzluksiz funksionalning shu to’plamda uzluksiz bo’lishini ko’rish qiyin emas. Haqiqatdan , aytaylik , nuqta M to’plamga tegishli bo’lsin. Hadlari M to’plamga tegishli bo’lib , nuqtaga yaqinlashuvchi Biror ketma - ketlikni tuzib olamiz. U holda ixtiyoriy
topiladiki , katta n larda
tengsizlikning bajarilishidan - tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak , nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy
ketma - ketlik uchun sonli ketma – ketlik ga
yaqinlashadi. Bu esa f funksionalning nuqtada uzluksiz ekanligini bildiradi. Tanlashimizga ko’ra , nuqta M to’plamning ixtiyoriy
nuqtasi bo’lganligi sababli , f funksional M to’plamda uzluksiz bo’ladi. Quyidagi teorema funksional tekis uzluksizligining yetarli shartini ifodalaydi :
3- teorema (Kantor). Agar X metrik fazodagi f funksional M⸦X kompakt to’plamda uzluksiz bo’lsa , u holda f funksional shu to’plamda tekis uzluksiz bo’ladi.
Isbot. Aytaylik , f funksional M to’plamda uzluksiz , lekin tekis uzluksiz bo’lmasin . U holda e musbat son uchun r , | shartlar asosida M to’plamning va nuqtalarini tanlab olish mumkin. Endi , M to’plamning r , |f shartlarni qanoatlantiruvchi
va nuqtalar juftini tanlaymiz. Shu kabi r , |f shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtalar juftini tanlash cheksiz davom ettirilib, va nuqtalar ketma - ketligiga ega bo’lamiz. Kompakt to’plam M ning nuqtalaridan tuzilgan ketma- ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma - ketlik ajratib olish mumkin. Bu qism ketma - ketlikning limiti bo’lsin. Ikkinchi ketm - ketlikning shu nomerlarga mos hadlaridan tuzilgan qism ketma - ketlik ham nuqtaga yaqinlashadi. Endi tanlanishga ko’ra
bo’lganligi sababli , o’ng tomondagi qo’shiluvchilarning kamida biri n ga bog’liq bo’lmagan holda dan kichik bo’la olmaydi. Bu esa funksionalning nuqtada uzluksizligiga zid. Teorema isbot bo’ldi.
3- §. Topologik fazolarning ta’rifi va misollar Metrik fazolarning asosiy tushunchalari (limit nuqta, to’plamning yopilmasi va hokazo) atrof hamda ochiq to’plam tushunchalari yordamida kiritilgan edi. Bunda atrof va ochiq to’plamlar ko’rilayotgan fazoda berilgan metrika bilan aniqlangan edi. Umuman, berilgan to’plamda ochiq to’plamlar sistemasini aksiomalar yordamida bevosita kiritish mumkin.
8 Ta’rif: T to’plamdagi topologiya deb, X ning qism to’plamlaridan iborat va quyidagi aksiomalarni qanoatlantiruvchi sistemaga aytiladi:
Agar ⸦ bo’lsa, u holda ,
bu yerda indekslar to’plami I ixtiyoriy;
va n ixtiyoriy natural son bo’lsa, u holda .
juftlik topologik fazo deb ataladi. X ning sistemasiga tegishli bo’lgan qism to’plamlari ochiq to’plamlar deb ataladi. Shunday qilib, topologik fazoni berish - bu biror X to’plamni olib, unda topologiyani kiritish, ya’ni X ning ochiq to’plam deyiladigan qism to’plamlarni aniqlash demakdir. Topologik fazoning elemantlari uning nuqtalari deb ham ataladi.
Bitta X to’plamda turli xil topologiyalar kiritish mumkin bo’lib, bunda turli topologik fazolar hosil bo’ladi.
va
sistemalar X dagi ikkita topologiya bo’lsin. Agar
munosabat o’rinli bo’lsa, topologiya topologiyaga nisbatan kuchliroq topologiya deyiladi va ko’rinishda yoziladi. Bu holda topologiyani
topologiyaga nisbatan kuchsizroq (sustroq) ham deyiladi.
Misollar. 1.Har qanday metrik fazodagi ochiq to’plamlar sistemasi topologiyaning va aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, ixtiyoriy metrik fazo tabiiy ravishda topologik fazo hamdir. 2. X ixtiyoriy to’plam va uning barcha qism to’plamlari sistemasi bo’lsin deb faraz qilaylik. Unda topologik fazodir. X dagi butunlay topologiya diskret topologiya deyiladi. 3. X to’plamda faqat bilan X dan iborat sistema ham topologiya hosil qiladi (antidiskret topologiya). Yuqorida keltirilgan 2- misoldagi topologiya X to’plamdagi barcha topologiyalarning eng kuchlisidir, 3- misoldagi topologiya esa bular orasida eng kuchsizidir. 4. Ikki elementdan iborat to’plamda hammasi bo’lib to’rtta topologiya mavjud . Ular quyidagilardir:
9 ,
.
4- Download 1.17 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|