Qator yaqinlashishining zaruriy shartdan foydalanib va Teylor formulasi yordamida limitlarni hisoblash
Download 435.77 Kb.
|
bir xil bo\'lib qomasin
|
Qator yaqinlashishining zaruriy shartdan foydalanib va Teylor formulasi yordamida limitlarni hisoblash. Qator yaqinlashishining zaruriy shartdan foydalanib va Teylor formulasi yordamida limitlarni hisoblash: Sonli qator tushunchasi, yaqinlashuvchi qator va uning yig‘indisi. Qatorning qoldig‘i. Geometrik qator. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti. Garmonik qator. Yaqinlashuvchi qatorlarning sodda xossalari. Koshi kriteriyasi, darajali qator tushunchasi, Abel teoremasi, darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi, darajali qatorning tekis yaqinlashishi, darajali qatorni hadma-had differensiallash va integrallash, Teylor qatori. funksiyalarni darajali qatorga yoyish, darajali qatorlarning taqribiy hisobga tatbiqi. Sonli qator va uning yig‘indisi. Faraz qilaylik sonlarning biror cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin: a1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... Bu sonlardan tuzilgan ushbu 1 2 3 n a a a ... a ... ( 1 ) ifodaga cheksiz qator ( qisqacha – qator ) deyiladi. {an} ketma-ketlik hadlari qatorning hadlari deyiladi. (1) ifodada + belgisi qatnashganligi sababli qatorni а n n 1 ko‘rinishda ham yoziladi. Agar n tayinlangan bo‘lsa, an- qatorning n-hadi deyiladi, agar n umumiy holda berilsa, an- qatorning umumiy hadi deyiladi. Umumiy had 1 yordamida berilgan qatorning ixtiyoriy hadini yozib olish mumkin. Masalan, agar bo‘lsa, u holda qator a n 2 n 1 1 1 ... 1 ... n 1 yoki n 2 4 8 2 n 1 2 ko‘rinishda bo‘ladi. Agar bo‘lamiz: a ( 1) n 1 1 n n bo‘lsa, u holda quyidagi ko‘rinishdagi qatorga ega 1 1 1 1 2 3 4 n yoki n 1 ( 1) n 1 . n qatorning birinchi n ta hadi yig‘indisini qaraymiz va uni S n orqali belgilaymiz: 1 2 3 n n S a a a ... a ( 2 ) Bu yig‘indini (1) qatorning n-xususiy yig‘indisi deyiladi. Bunda S1 deganda a1 ni qarashga kelishamiz. da n ga 1, 2, 3, … qiymatlar berib, quyidagi xususiy yig‘indilar ketma-ketligiga ega bo‘lamiz: 1 1 S a , S a a , S a a a , ..., S n a1 a 2 a 3 ... a n , ... . 1 2 3 1 2 3 2 Yuqoridagi {Sn} ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘lishi mumkin. Ta’rif. Agar (2) qatorning xususiy yig‘indilari ketma-ketligi { S n } chekli limitga ega bo‘lsa, ya’ni lim S n n mavjud bo‘lsa, u holda bu qator yaqinlashuvchi qator deyiladi. { S n } ketma-ketlik limiti S lim S n n (2) 1 2 3 S a a a yoki S a n n 1 kabi yoziladi. Agar qatorning xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda uzoqlashuvchi qator deyiladi. Agar lim S n n bo‘lsa, u holda a n n 1 yoki S kabi yozishga kelishamiz. Shunday qilib, qator yig‘indisi ikkita amal (qo‘shish va limitga o‘tish) natijasida hosil qilinadi. Qo‘shish amali xususiy yig‘indilarni, ikkinchi amal esa ularning limitini topish uchun kerak bo‘ladi. Yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi qatorlarga misollar ko‘ramiz. 1-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring: 1 1 1 1 3 2 4 3 5 . n ( n 2 ) Yechish. Berilgan qatorning n-xususiy yig‘indisi 1 1 1 S n 1 3 2 4 3 5 n ( n 2 ) . Bu yig‘indini soddalashtirish maqsadida qatorning n-hadini quyidagi 1 1 1 1 ko‘rinishda yozib olamiz. U holda n ( n 2 ) 2 n n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n S = 2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 n 1 n 1 2 n n 2 1 1 1 1 3 = 1 bo‘ladi. Ravshanki, {Sn} ketma-ketlik limiti mavjud va ga 2 2 n 1 n 2 4 teng. Demak, berilgan qator yaqinlashuvchi bo‘lib, uni 3 = 4 1 1 1 3 1 , yoki = kabi yozish mumkin ekan. 1 3 2 4 3 5 n ( n 2 ) 4 n 1 n ( n 2 ) n 2-misol. Umumiy hadi a ( 1) n 1 bo‘lgan qatorni yaqinlashishga tekshiring. Yechish. Bu qatorning n-xususiy yig‘indisi S 1 1 1 1 ( 1) n 1 ga teng. n Xususiy yig‘indilar ketma-ketligi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: 1, 0, 1, 0, ... Ma’lumki, bu ketma-ketlik chekli limitga ega emas. Demak, uzoqlashuvchi ekan. ( 1) n 1 n 1 qator Qatorga eng sodda misol sifatida geometrik progressiya barcha hadlarining yig‘indisini olishimiz mumkin: a aq aq 2 ... aq n 1 ... bunda a0. Bu qator geometrik qator deyiladi. Geometrik qator q ning qanday qiymatlarida yaqinlashuvchi bo‘lishini aniqlaymiz. Buning uchun uning n-xususiy yig‘indisini qaraymiz. Geometrik progressiya birinchi n ta hadi yig‘indisining formulasiga ko‘ra (q1) a a q n a q n n S a 1 q 1 q 1 q o‘rinli. Agar q<1 bo‘lsa, u holda lim q n 0 n bo‘lib, lim S n n mavjud va lim S n n lim a q n a a bo‘ladi. Demak, q<1 bo‘lganda (3) qator yaqinlashuvchi va n 1 q 1 q a 1 q uning yig‘indisi bo‘ladi. 1 q Agar |q|>1 bo‘lsa, u holda lim q n va n lim S n n = bo‘ladi. Demak, bu holda geometrik qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar q=-1 bo‘lsa, qatorning xususiy yig‘indisi n S a (1 ( 1) n ) 2 bo‘ladi. Bu holda xususiy yig‘indilar ketma-ketligi uzoqlashuvchi, demak qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar q=1 bo‘lsa, qatorning xususiy yig‘indisi Sn=a+a+…a=na va lim S n n = bo‘ladi. Shunday qilib, geometrik qator q<1 bo‘lganda yaqinlashuvchi, |q|1 bo‘lganda uzoqlashuvchi bo‘ladi. Yaqinlashuvchi bo‘lgan holda cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisining formulasi hosil bo‘ladi: a q = a aq aq 2 ... aq n 1 ... Yaqinlashuvchi qatorlarning sodda xossalari. Bizga ushbu va a a a ... a ... ( 1 ) 1 2 3 n 1 2 3 n b b b ... b ... ( 2 ) qatorlar berilgan va c ixtiyoriy o‘zgarmas son bo‘lsin. Ushbu ca1 ca 2 ca 3 ... ca n ... ( 3 ) qator (1) qatorni c o‘zgarmas songa ko‘paytirish natijasida hosil qilingan deyiladi. ( a1 b1 ) ( a 2 b 2 ) ( a 3 b3 ) ... ( a n bn ) ... ( 4 ) ( a1 b1 ) ( a 2 b 2 ) ( a 3 b3 ) ... ( a n bn ) ... ( 5 ) qatorlar esa, mos ravishda (1) va (2) qatorlarning yig‘indisi va ayirmasi deb ataladi. teorema. Agar (1) qator yaqinlashuvchi, yig‘indisi S ga teng bo‘lsa, u holda (3) qator ham yaqinlashuvchi bo‘lib, yig‘indisi cS ga teng bo‘ladi. Isboti. (3) qatorning n-xususiy yig‘indisini yozib olamiz: n ca1 ca 2 ca 3 ... ca n . Buni quyidagicha yozib olish mumkin: n c ( a1 a 2 a 3 ... a n ) c S n , bu yerda Sn (1) qatorning n-xususiy yig‘indisi. Teorema shartiga ko‘ra lim S n n S , u holda lim n n limit mavjud bo‘ladi: lim lim c S c lim S c S . Download 435.77 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|