Самостоятельная работа по предмету: дополнительные главы теории вероятностей на тему: " "

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕ СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРОЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАНА.

ДЖИЗЗАКСКИЙ ФИЛИАЛ НАЦИОНАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА УЗБЕКИСТАНА ИМЕНИ МИРЗО УЛУГБЕКА.
ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ПРЕДМЕТУ: ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
НА ТЕМУ: “ __________________“.

ВЫПОЛНИЛ СТУДЕНТ ГРУППЫ 102-20: Пулатов А.

ПРИНЯЛ ПРЕПОДОВАТ: ____________

Тема: Стохастический эксперимент. Пространство элементарных событий. Понятие вероятности события и ее классическое, геометрическое и статистическое определения.
Предмет теории вероятностей
Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от детерминированного.
Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях. Случайность и хаос — не одно и то же. Оказывается, что и в случайных экспериментах наблюдаются некоторые закономерности, например свойство «статистической устойчивости»: если  — некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля  экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов  , приближаясь к некоторому числу  . Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию  произойти.
Следует помнить, что мы занимаемся математикой и имеем дело не с реальностью, а лишь с её математической моделью. Мы и будем изучать только математические модели, а приложение их к реальности оставим на долю математической и практической статистики.
Определение 1. Пространством элементарных исходов  («омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой  («омега»).

Определение 2. Событиями мы будем называть подмножества множества  . Говорят, что в результате эксперимента произошло событие  , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество  .

Замечание 2. Вообще говоря, можно назвать событиями не обязательно любые подмножества множества  , а лишь элементы некоторого набора подмножеств. О смысле такого ограничения мы поговорим позднее.

Пример 1. Один раз подбрасывается кубик — игральная кость. Рассмотрим пространство элементарных исходов  , элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.
Примеры событий:  — выпало одно или два очка;  — выпало нечётное число очков.

Пример 2. Два раза подбрасывается игральная кость. Или, что то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Будем считать пространством элементарных исходов множество пар чисел  , где  (сответственно,  ) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании:  .

Примеры событий:
— при первом подбрасывании выпало одно очко;
— при втором подбрасывании выпало одно очко;
— на костях выпало одинаковое число очков;
— на обеих костях выпало нечётное число очков.
Пример 3. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать координату центра монеты. Пространство элементарных исходов — множество точек стола. Если нам не безразличен угол поворота монеты, то можно добавить к множеству положений центра величину этого угла. В этом случае  есть множество пар  , где  — точка стола и  — угол поворота. Число элементарных исходов такого эксперимента несчётно.
Пример 4. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счётного числа исходов:  , где р означает выпадение решки, а г — герба при одном подбрасывании.

Определение 3.

1. Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, т.е. единственное событие, включающее все элементарные исходы — событие  .
2. Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, т.е. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество»  ). Заметим, что всегда  .
Операции над событиями
В теории вероятностей существуют ровно те же операции над множествами, что и в теории множеств.
Определение 4.
1. Объединением  событий  и  называется событие, состоящее в том, что произошло либо  , либо  , либо оба события одновременно. На языке теории множеств  есть множество, содержащее как элементарные исходы из множества  , так и элементарные исходы из множества  .
2. Пересечением  событий  и  называется событие, состоящее в том, что произошли оба события  и  одновременно. На языке теории множеств  есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в пересечение множеств  и  .
3. Противоположным (или дополнительным) к событию  называется событие  , состоящее в том, что событие  в результате эксперимента не произошло. Т.е. множество  состоит из элементарных исходов, не входящих в  .
4. Дополнением  события  до  называется событие, состоящее в том, что произошло событие  , но не произошло  . Т.е. множество  содержит элементарные исходы, входящие в множество  , но не входящие в  .
Определение 5.
1. События  и  называют несовместными, если  .
2. События  называют попарно несовместными, если для любых  , где  , события  и  несовместны.
3. Говорят, что событие  влечёт событие  , и пишут  , если всегда, как только происходит событие  , происходит и событие  . На языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий в множество  , одновременно входит и в множество  , т.е.  содержится в  .