Самостоятельная работа по предмету: дополнительные главы теории вероятностей на тему: " "

А1. Аксиома неотрицательности: вероятность любого события  F неотрицательна, т.е.
.
А2. Аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна единице, т.е.
.
А3. Аксиома аддитивности:  вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если  Ø  , то
.
Определение. Совокупность объектов ( ,F, ), где  - пространство элементарных событий, F - алгебра событий, P - числовая функция, удовлетворяющая аксиомам, называется вероятностным пространством случайного эксперимента.
Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления; заданием этого пространства завершается аксиоматика теории вероятностей.
Замечание. Во многих случаях мы имеем дело с решением задач, связанных с бесконечным числом событий. Поэтому необходимо к приведенным добавить еще одну аксиому А4.
А4. Если  F,  ,  Ø,  , то  .
Эта аксиома называется аксиомой счетной аддитивности.
Свойства вероятностей, вытекающие из аксиом Колмогорова (А1, А2,А3) приведены в предыдущем параграфе.
Пример. Из колоды содержащей 36 карт, наудачу вынимают три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна «дама»
Решение. Пусть  - интересующее нас событие, -появление одной «дамы»,   - появление двух дам ,  - трех «дам». Тогда  , причем события  несовместные. Поэтому  , т.е.



Задача решается и другим методом тоже, если воспользоваться свойством С2. Находим  , где  - среди вынутых карт нет ни одной «дамы».
. Значит 
Свойства вероятностей
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из противоположных событий обозначено через  , то другое принято обозначать  .
Приведем ряд свойств вероятности, являющихся следствием аксиом Колмогорова.
С1. Вероятность невозможного события равна нулю.
С2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.
.
С3. Вероятность любого события не превосходит единицы, т.е. .
С4. Если  , т.е. событие А влечет за собой событие В, то
.
С5. Если события  образуют полную группу несовместных событий, т.е.  и  , то .
Тема: Условная вероятность. Независимость событий. Полная вероятность и формулы Байеса.
Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий  , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле
.
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий  , вероятности появления которых  . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий  , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез  .
По теореме умножения вероятностей


,
откуда
.
Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез  называются апостериорными вероятностями, тогда как  - априорными вероятностями.
Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.