§ 63. Yasash imkoniyatlari haqida umumiy ma'lumot

117 -masala. (D e l i y m a s a l a s i . ) Hajmi berilgan kubning hajmidan ikki marta katta bulgan kub yasang.
Berilgan kubning qirrasini a va suralgan kubning qirrasini x orkali belgilasak, masalaning shartiga muvofiq, yoki tenglama tuziladi.
Xosil bulgan tenglamaning chap tomonini ko`paytuvchilarga ajratsak:
=0

tenglama hosil bo`ladi.

Bu tenglamaning bir ildizi bo`lib, qolgan ikkita ildizi kompleks sondir. Shunday qilib, tenglamaning birdan-bir haqiqiy ildizi bo`ladi. a kesma berilgan deb hisoblasak, kesmani sirkul va chizg`ich yordami bilan yasab bo`lmaydi, chunki x ning ifodasida kub ildiz qatnashmoqda.
Bu ifodani ikkita parabola yordamida yasash mumkin.
Tenglamalari:
va
bulgan ikkita parabolani olaylik(bu yerda
a berilgan kubning qirrasidir, 195-chizma).
y ni ikkinchi tenglamadan topib, birinchi teng-
lamaga qo`ysak:
yoki
tenglama hosil bo`ladi. 195-chizma
= 0 ildiz parabolalarning koordinatalar boshidagi umumiy nuqtasining abssissasini beradi. izlangan kesmani beradi. Demak, parabolalarning ikkinchi kesishish nuqtasi bo`lgan R ning abssissasi izlangan kubning qirrasini berar ekan. Agar biz kursatilgan parabolalarni chiza olsak, kubning hajmini ikki hissa orttirish masalasini ham yecha olar ekanmiz.
Kubning hajmini ikkilash masalasini ikkita to`g`ri burchak yordami bilan ham yechish mumkin. Buni eramizdan 400 yil ilgari Platon kursatgan.
OA = a — berilgan kubning sirrasiga teng bulsin.
O nustadan OA tugri chiziqa perpendikulyar tugri chiziq o`tkazib, unda OB = 2a kesmani qo`yamiz (196-chizma). Ikkita to`g`ri burchakni shunday joylashtiramizki:
1) birinchi burchakning C uchi BO ning davomida, ikkinchi burchakning D uchi esa AO ning davomida yotsin;
2) birinchi burchakning bir tomoni A nuqtadan, ikkinchi burchakning bir tomoni B nuqtadan utsin;
3) burchaklarning dolgan tomonlari bir CD to`g`ri chiziqda yotsin. Bu holda OC kesma izlangan kubning tomoni x ga teng buladi. Xaqiqatan, ACD va SOB to`g`ri burchakli uchburchaklardan, to`g`ri burchakning uchidan gipotenuzaga tushirilgan balandlikning xossasi haqidagi teoremaga asosan:
ОА:ОС = ОС: OD vа ОС : OD — OD : ОВ.
Bu tengliklardan:
ОА:ОС = ОС: OD vа ОА:ОС = OD: ОВ
yoki:


OА-ОD = О vа ОА-ОВ=ОС-ОD.
Agar bu tengliklarga OA = va OB — 2 qiymatlarni quyib, tengliklarni hadlab ko`paytirsak:

Bundan OC kesmaning izlangan kesma ekanligi aniq bo`ladi.