§ 63. Yasash imkoniyatlari haqida umumiy ma'lumot

118-masala. Ixtiyoriy burchakni teng uchga buling.
Bu masalani ham sirkul va chizg`ich yordami bilan yechib bo`lmaydi.
Bunga ishonish uchun ixtiyoriy AOB = < 90° ni berilgan va COB = ni izlangan burchak deb faraz qilaylik(197-chizma).
Agar birlik kesma berilgan bulsa, burchakni yasash va = kesmani yasash masalalari teng kuchlidir.
Berilgan bilan izlangan ni yoki bilan cos ni bir tenglama yordamida bog`lash uchun trigonometriyadan ma'lum bo`lgan
(1)
formuladan foydalanamiz.

196-chizma 197-chizma
Agar (1) da deb faraz qilsak , bu tenglik tubandagi ko`rinishga keladi:
(1)
Agar:
va
deb faraz qilsak , keyingi tenglama tubandagi ko`rinishga keladi:
yoki (1")
Oliy algebradan ma'lumki, (1") dagi uchinchi darajali tenglamaning ildizlari uning koeffisientlari orqali, umumiy holda kub ildizlar yordamida ifodalanadi. Shuning uchun
umumiy holda burchakni teng uch bulakka sirkul va chizg`ich yordami bilan bulib bulmaydi.
Masalan, bulganda a = 1 bulib, (1") tenglama kurinishga keladi.
Bu tenglamaning ildizlari rasional ham emas, kvadrat irrasional ham emas. Shuning uchun uning ildizlarini sirkul va chizg`ich yordami bilan yasab bulmaydi. Bundan 60° li
burchakni sirkul va chizg`ich yordamida teng uchbulakka bulib bulmaydi, degan xulosa chisaramiz.
E s l a t m a. Agar berilgan burchak , , . . . , (n — butun va musbat) bulsa, bunday burchakni sirkul va chizg`ich yordamida teng uch bulakka bulish mumkin. Xaqiqatan va bulganda mos ravishda = 0 va bulib, (1") tenglama kuyidagi kurinishga keladi:
Bulardan birinchisining ildizlari 0, , - ,ikkinchisiniki esa - bulgani uchun bularni sirkul va chizg`ich bilan yasash mumkin.
Agar sirkuldan va ikkita (A va B) nuqtasi belgilangan bir tomonli chizg`ichdan foydalansak, burchakni teng uchga bulish masalasini yechib buladi.
Chizgichda belgilangan ikkita nuqta orasidagi
Masofa uzunlik etaloni deb ataladi.
ixtiyoriy burchak bulsin
(198-chizma). O markazdan uzunlik
etaloni a ga teng radius bilan aylana
chizamiz. Aylana berilgan burchakning
c tomoni bilan C nuqtada kesishsin.
C nustadan shunday to`g`ri chiziq o`tkaza-
mizki, uning A va B nustalari mos ravishda
burchakning b tomonining davomida va
chizilgan aylanada yotib, AB = bulsin
(bunday tugri chiziqni nuqtalari belgilangan
chizgich yordami bilan o`tkazish 198-chizma
mumkin deb qabul silinadi). U holda BAO burchak bOc burchakning uchdan biriga teng buladi. X,aqiqatda, B ni O bilan tashtirsak, AB = OB = OC = a buladi. Teng yonli uchburchaklardan va tashqi burchak haqidagi teoremadan = 3 + , = 2 ni topamiz. Bundan kelib chnkadi. Bu usulni birinchi marta Arximed topgan.