§. Natural va butun sonlar

26- §. Ehtimollar nazariyasi.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri “ tasodifiy hodisa” hisoblanadi. Natijasini oldindan aytib bo’lmaydigan tajriba o’tkazilayotgan bo’lsin. Bunday tajribalar ehtomollar nazariyasida tasodifiy deb ataladi.

Tasodifiy hodisa deb, tasodifiy tajriba natijasida ro’y berishi oldindan aniq bo’lmagan hodisaga aytiladi.

Tasodifiy hodisalar orasidagi munosabatlar quyidagicha.

1)A va B hodisalar yig’indisi deb, A va B hodisalarning kamida bittasi (A yoki B, A va B birgalikda) ro’y berishidan iborat C =AB (A+B) hodisaga aytiladi.

2)A va B hodisalar ko’paytmasi deb, A va B hodisalar ikkalasi ham ( A va B birgalikda) ro’y berishidan iborat C =AB (AB) hodisaga aytiladi.

3) A hodisaga qarama-qarshi hodisa faqat va faqat A hodisa ro’y bermaganda ro’y beradi. hodisa A hodisaning teskarasi deyiladi.

4)Agar A hodisa ro’y berishidan B hodisaning ham ro’y berishi kelib chiqsa, A hodisa B hodisani ham ergashtiradi deyiladi va AB ko’rinishda yoziladi.

Quyidagilarni eslab qoling.

i)A,B va C – ixtiyoriy hodisalar bo’lsin. Bu uchchala hodisalarning birgalikda ro’y berishi D hodisani aniqlaymiz.

D =AC

ii) A,B va C – ixtiyoriy hodisalar bo’lsin. Bu hodisalarning hech bo’lmaganda bittasi ro’y berishi E hodisani aniqlaymiz.

E =AC

iii) A,B va C – ixtiyoriy hodisalar bo’lsin. Bu hodisalarning birortasi ham ro’y bermasligi F hodisani aniqlaymiz.

F =

iiii) A,B va C – ixtiyoriy hodisalar bo’lsin Bu hodisalarning faqat bittasi ro’y berishi K hodisani aniqlaymiz.

K =A + +

Bu hodisalarning faqat bittasi

26-Mashq.

1)Quyidagi ehtimollar nazariyasida berilgan talqinlarni to’plamlar nazriyasi talqini bo’yicha tushuntiring.

a) A va B hodisalarning kamida bittasi ro’y berishi (A va B hodisalar yig’indisi)

b) A va B hodisalarning birgalikda ro’y berishi (A va B hodisalar ko’paytmasi)

c) A hodisaning ro’y berishi B hodisaning ro’y bermasligi (A hodisadan B hodisaning ayirmasi)

d) Mumkin bo’lmagan hodisa

e) A hodisaning ro’y bermasligi ( A hodisaning teskarisi)

f) A va B hodisalar birgalikda emas

j) A hodisa B hodisani ergashiradi

2.Idishda 3 ta oq va 7 ta qora shar bor. Tavakkaliga ketma-ket bittadan 2 ta shar olindi. Birinchi shar oq rangda, ikkinchi shar qora rangda bo’lishi ehtimolini toping.

3.Sinfdagi 20 ta o’quvchidan 15 tasi matematika to’garagiga qatnashadi. Ixtiyoriy olingan bitta o’quvchining matematika to’garagiga qatnashish ehtimoli qancha?

Javob: (3/4)

4. Ikki xonali sonlar orasidan olingan ixtiyoriy ikki xonali sonning 3 ga qoldiqsiz bo’linish ehtimoli necha?

Javob; (1/3)

5. U_n = n² +1 (n =1,2,3……10) ketma-ketlikning olingan ixtiyoriy hadi 5 ga qoldiqsiz bo’linishi ehtimoli nechaga teng?

Javob: (0,4)

6. Qutida 10 ta oq va 3 ta qizil shar bor. Qutidan olingan sharning qizil bo’lish ehtimoli nechaga teng?

Javob: (3/13)

7. Tanga uch marta tashlandi. Quyidagi hodisalardan qaysi birining sodir bo’lish ehtimoli yuqori?

A hodisa – uch marta raqam tomoni tushishi

B hodisa – ikki marta raqam va bir marta gerb tushishi

Javob: ( B hodisani)

8. Tanga uch marta tashlandi. Quyidagi hodisalarning ehtimolini aniqlang.

A hodisa – uch marta raqam tomoni tushishi

B hodisa – ikki marta raqam va bir marta gerb tushishi

Javob: ( P(A) =1/8 , P(B) =3/8)

9. Oilada 3 ta bola bo’lib, ularning o’g’il bola bo’lish ehtimoli nechaga teng? ( o’g’il bola va qiz bola tug’ilish ehtimoli teng)

Javob: (1/8)

10. Qutida n ta oq va m ta qizil sharlar bor. Qutidan olingan ikkita sharning qizil bo’lishi ehtimoli nechaga teng?

Javob: ( C_n²/ C_(n+m)²)

11. Kun oxirida 60 ta tarvuz qoldi. Bu tarvuzlardan 50 tasi pishgan. Xaridor ikkta tarvuz tanladi. Bu ikkita tarvuzning pishgan bo’lishi ehtimoli nechaga teng?

Javob: ( 245/354)

12. Qutida n ta oq, m ta qora va k ta qizil sharlar bor. Tavakkaliga uchta shar olindi. Bu olingan sharlarning har xil rangda bo’lishi ehtimoli nechaga teng?

Javob: ( nmk/ C_(n+m+k)³)

13. 6 ta kubning tomonlariga a,a,a,n,n,s harflari yozib chiqildi.Ixtiyoriy ravishda bu kublarning qo’yilish natijasida “ananas” so’zi hosil bo’lish ehtimoli nechaga teng?

Javob; (1/60)

14.Yetti o’rindiqdan iborat qatorda yettita o’quvchi o’tirishi kerak. Uchta belgilangan o’quvchini yonma –yon o’tirish ehtimoli nechaga teng?

Javob: ( (53!4!)/7! )

15.Yashikda 15 detal bo’lib, bulardan 5 tasi bo’yalgan. Beshta detal olindi. Bu detallardan 4 tasi bo’yalgan, 1 tasi bo’yalmagan bo’lish ehtimoli nechaga teng?

Javob: (50/C₁₅⁵ )

16.To’qqiz qavatli uyning birinchi qavatida 4 ta odam liftga chiqdi. Bu odamlar bir-biriga bog’liq bo’lmagan holda ikkinchi qavatdan to’qqizinchi qavatgacha liftdan tushadi. Hamma odamning oltinchi qavatga tushish ehtimoli qancha?

Javob: (1/8⁴)

17. To’qqiz qavatli uyning birinchi qavatida 4 ta odam liftga chiqdi. Bu odamlar bir-biriga bog’liq bo’lmagan holda ikkinchi qavatdan to’qqizinchi qavatgacha liftdan tushadi. Hamma odamning har bir qavatga tushish ehtimoli qancha?

Javob: (8/8⁴)

18.Bir tanga ketma-ket to’rt marta tashlanmoqda. Eng kamida bitta gerb tushishi ehtimolini toping.

Javob: (15/16)

19.Uchta o’g’il bola bilan 3 ta qiz bola ixtiyoriy ravishda yonma –yon o’tirishdi.O’g’il bolalarning yonma-yon, qiz bolalarning yonma-yon o’tirishlari ehtimolini aniqlang.

Javob: (1/10)

20. Bir xaltada 4 ta ko’k va 4 ta qizil shar bor. Qaytarib qo’ymaslik sharti bilan ketma-ket olingan ikki shar bir xil rangda bo’lish ehtimolini aniqlang.

Javob: (3/7)

21. 3 ta ko’k va 4 ta yashil sharchalardan ixtiyoriy tanlangan 3 sharchaning 2 tasi bir xil, 1 tasi farqli rangda bo’lish ehtimolini toping.

Javob: (6/7)

22. Xaltada 2 ta ko’k, 2 ta qizil, 2 ta sariq va 2 ta yashil shar bor. Ixtiyoriy ravishda olingan uch sharning turli rangda bo’lish ehtimolini toping.

Javob (4/7)

23. Bir tanga 5 marta tashlandi. 2 marta gerb, 3 marta raqam kelish ehtimolini toping.

Javob: (5/16)

24. Bir savatdagi 12 tuxumdan 4 tasi buzilgan. Ixtiyoriy ravishda olingan 3 ta tuxumning uchalasi ham buzilmagan bo’lish ehtimolini hisoblang.

Javob (14/55)

25. Bir xaltada 4 ta ko’k va 4 ta qizil shar bor. Bir urinishda olingan 2 sharning turli rangda bo’lish ehtimolini toping.

Javob: (4/7)

26. {0,1,2,3,4} to’plamning qism to’plamlari bittadan qog’ozga yozilib xaltaga solindi. Xaltadan ixtiyoriy ravishda olingan qog’ozda 1 bo’lib, 2 ning bo’lmasligi ehtimolini hisoblang.

Javob: (1/4)

27.A,B,C,D va E bir aylana ustidagi turli nuqtalar. Uchlari shu nuqtalarda bo’lgan uchburchaklar chizilyapti. Ixtiyoriy olingan bir uchburchakda A ning bir uch bo’lish ehtimoli qancha?

Javob: (3/5)

28. Bir xaltada 4 ta ko’k, 6 ta qizil sharcha bor. Xaltadan ixtiyoriy olingan ikkita sharchaning turli rangda bo’lish ehtimoli qancha?

Javob: (8/15)

27- §. Mantiq.

Rost yoki yolg’on bo’lgan darak gaplarga mulohaza deyiladi. Savol shaklidagi gaplar, shaxsning munosabatini bildiruvchi darak gaplar mulohaza bo’la olmaydi.

Misol: Quyidagilarning qaysi biri mantiqiy jumla?

1. 
   keldingmi?
   
2. 
   Juda ham aqllisan
   
3. 
   Ishonamanki bajara olasanmi
   
4. 
   Hamma odamlar oq tanlidir
   
5. 
   Bor ket
   

Yuqoridagi tasdiqlardan rost yoki yolg’on bo’la

oladigan darak gap faqat to’rtinchisidir.

Murakkabroq mulohazalarni tuzishda (konyuksiya – “va”, “ammo”), (dizyunksiya – “yoki”), ¬ (inkor – “…emas”, “….noto’g’ri”) mantiqiy bog’lovchilar deb ataluvchi maxsus belgilardan foydalaniladi.

Ikki mulohaza “ agar ….. bo’lsa, u holda …” ibora bilan bog’lansa, u holda mulohazalar implikatsiyasiga ega bo’lamiz.

“Agar p bo’lsa, u holda q” implikativ mulohaza p kabi belgilanadi va “ p dan q kelib chiqadi”, “p mulohaza q uchun yetarli” , “ q mulohaza p uchun zarur” ma’nolarni anglatadi.

Bunda p mulohaza q uchun yetarli shart, q mulohaza p uchun zaruriy shart deb yuritiladi.

(p) (q) ko’rinishdagi mulohaza p va q mulohazalarning ekvivalensiyasi deyiladi va pq kabi belgilanadi.

pq yozuv “ p mulohaza q uchun zarur va yetarli” yoki “ p mulohaza q bo’lgandagina o’rinli bo’ladi”, deb o’qiladi.

Bu yuqoridagi konyuksiya, dizyunksiya, implikatsiya va ekvivalensiyalar bo’yicha rost va yolg’on jadvalini tuzib chiqamiz.

p q (konyuksiya

p	q	p q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

p

p	q	p
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

p implikatsiya

p	q	p
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

p ekvivalensiya

p	q	p
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

p mulohazaning konversiyasi deb q mulohazaga aytiladi.

p mulohazaning inversiyasi deb ¬ p mulohazaga aytiladi.

p mulohazaning kontrapozitsiya deb mulohazaga aytiladi.

1)Quyidagi mantiqiy mulohazalar qanday bo’lishidan qat’iy nazar ularning natijasi rost bo’ladi.

(p+ ¬ p) , (p¬ ¬p), (p)(¬q ¬p)

2)(A(¬ A)), (BA) (¬ A), (AF) bu mulohazalarning natijalari doimo yolg’on bo’ladi.

Quyidagilarni ham eslab qoling.

1) 2) 3) 4) A+A =A 5) AA =A 6) A + =T 7) A +T = T 8) A +F =T 9) A = F 10) AT =A 11) AF =F

Agar mulohazalarda o’zgarubchilar qatnashib, shu o’zgaruvchilar o’rniga aniq qiymatlarni qo’ysak, rost –yolg’onligi aniq bo’lgan mulohaza hosil bo’ladi. Bunday mulohaza predikat deyiladi.

Predikatlar bilan birga ( umumiylik kvantori, “ barcha ….lar uchun”) va ( mavjudlik kvantori, “ shunday …mavjudki”) maxsus belgilardan foydalanib, yangi mulohazalar hosil qilinadi.

Masalan xP(x) ko’rinishidagi yangi mulohaza x ning barcha qiymatlari uchun P(x) ekanligi, xP(x) ko’rinishidagi yangi mulohaza esa x ning P(x) bo’ladigan qiymati mavjudligini bildiradi.