1-§. Чегаралари чексиз хосмас интеграллар Чегараси чексиз хосмас интеграл тушунчаси

2438.

2439.
2440.	2441.
2442.	2443.
2444.	2445.
2446.	2447.

2448. параметрининг қандай қийматларида

мавжуд бўлади?


3-§. Хосмас интегралларнинг татбиқлари.

Хосмас интеграллар ёрдамида геометрик ва механик масалалар ечилади.

1 – м и с о л . Ушбу

эгри чизиқ ва унинг асимптотаси билан чегараланган шаклнинг юзи ҳисоблансин.
◄Қаралаётган эгри чизиқнинг асимптотаси ўқидан иборат.
Шаклнинг юзи

бўлади. Маълумки,

Демак, .►
2 – м и с о л . Ушбу логарифмик спиралнинг радиуси бўлган айлана ичидаги қисмининг узунлиги топилсин.
◄Айлана ичидаги логарифмик спирал нуқтасининг қутб бурчаги дан 0 гача ўзгариб, да радиус-вектор 0 гача камаяди. Логарифмик спиралнинг бу нуқтаси қутб нуқтага яқинлашади.
Логарифмик спирал узунлигини топамиз:
.►


Қуйидаги функцияларнинг графиклари ва абсциссалар ўқи билан чегараланган шаклларнинг юзалари топилсин.

2449.	2450.
2451.	2452.
2453.	2454.
2455.	2456.
2457.	2458.

2459.Ушбу функция графигини унинг асимптотаси атрофида айлантириш натижасида ҳосил бўлган сирт билан чегараланган жисмнинг ҳажми топилсин.


функция графигини абсциссалар ўқи атрофида айлантириш натижасида ҳосил бўлган сирт билан чегараланган жисмнинг ҳажми топилсин.

2460.

2461.

2462. , функция графигини унинг асимптотаси атрофида айлантириш натижасида ҳосил бўлган сиртнинг юзи топилсин.


Қуйидаги тенгсизликлар исботлансин.

2463.	2464.
2465.	2466.
2467.	2468.
2469.	2470.
2471.

Қуйидаги функцияларнинг графиклари ва абсциссалар ўқи билан чегараланган шаклларнинг юзлари топилсин.

2472.	2473.
2474.	2475.
2476.	2477.
2478.	2479.

Қуйидаги тенгламалар ёрдамида берилган функцияларнинг графиклари ва уларнинг асимптоталари билан чегараланган шаклларнинг юзалари топилсин.

2480.	2481.
2482.	2483.

Қуйидаги қутб координаталар системасида берилган чизиқлар билан чегараланган шаклларнинг юзалари топилсин.

2484.

2485.

2486. функция графиги ва тўғри чизиқ билан чегараланган шаклни ординаталар ўқи атрофида айлантиришдан ҳосил бўлган сирт билан чегараланган жисмнинг ҳажми топилсин.
2487.Қуйидаги тенглама ёрдамида берилган функция графигини унинг асимптотаси атрофида айлантиришдан ҳосил бўлган жисмнинг ҳажми топилсин.


Қуйидаги тенгсизликлар исботлансин.
2488.
2489.
2490.
2491. .
X-БОБ.
Сонли қаторлар


1-§. Асосий тушунчалар.
Яқинлашувчи қаторнинг асосий хоссалари


1 . Сонли қатор тушунчаси. Қаторнинг яқинлашувчилиги ва узоқлашувчилиги. Ушбу
(1)
ифода қатор (сонли қатор) дейилади, бунда ҳақиқий сонлар қатор ҳадлари, эса қаторнинг умумий ҳади ( - ҳади) дейилади.
Қуйидаги

йиғинди (1) қаторнинг қисмий йиғиндиси ( -қисмий йиғиндиси) дейилади.
1 – т а ъ р и ф . Агар

мавжуд бўлиб, у чекли сон га тенг бўлса, (1) қатор я қ и н л а ш у в ч и , сон эса унинг й и ғ и н д и с и дейилади.
.
Агар да кетма-кетликнинг лимити чексиз ёки мавжуд бўлмаса, (1) қатор узоқлашувчи дейилади.
2 . Яқинлашувчи қаторнинг асосий хоссалари. Айтайлик,
ва қаторлар яқинлашувчи бўлиб, уларнинг йиғиндиси мос равишда ва бўлсин:
,
У ҳолда

1. 
   яқинлашувчи ва бўлади, бунда ,
   
2. 
   яқинлашувчи ва бўлади.
   
3. 
   Қуйидаги
   

муносабат ўринли бўлади. Бу шарт қатор яқинлашишининг зарурий шартини ифодалайди.
1 – м и с о л . Ушбу

қаторнинг яқинлашувчилиги аниқлансин, йиғиндиси топилсин.
◄Бу қаторнинг умумий ҳадини қуйидагича

ёзиб, унинг қисмий йиғиндисини топамиз:


Равшанки,

Демак, берилган қатор яқинлашувчи, унинг йиғиндиси 2 га тенг.►
2 – м и с о л . Ушбу

қатор яқинлашувчиликка текширилсин.
◄Равшанки, бу қаторнинг қисмий йиғиндиси

бўлади. Уни қуйидагича ёзиб оламиз:

.
Натижада

бўлиб, ундан берилган қаторнинг яқинлашувчи, йиғиндиси бўлиши келиб чиқади.►
3 – м и с о л . Ушбу

қатор яқинлашувчиликка текширилсин.
◄Бу қаторнинг умумий ҳади

бўлади. да нинг лимитини топамиз:

Қатор яқинлашишининг зарурий шарти бажарилмайди. Бинобарин, қатор узоқлашувчи бўлади.►
4 – м и с о л . Ушбу

қатор яқинлашувчиликка текширилсин.
◄Одатда бу қаторни геометрик қатор дейилади. Қаторнинг қисмий йиғиндисини топамиз:

Равшанки,

ва да бўлади.
Демак, геометрик қатор бўлганда яқинлашувчи, бўлганда узоқлашувчи бўлади.►
2-§. Мусбат ҳадли қаторлар


1 . Мусбат ҳадли қаторларнинг яқинлашувчилиги. Фараз қилайлик, бирор
(2)
қатор берилган бўлсин.
Агарда учун бўлса, (2) қатор мусбат ҳадли қатор (қисқача мусбат қатор) дейилади.
Т е о р е м а . Мусбат ҳадли

қаторнинг яқинлашувчи бўлиши учун унинг қисмий йиғиндиларидан иборат

кетма-кетликнинг юқоридан чегараланган бўлиши зарур ва етарли.


2 . Солиштириш (таққослаш) аломатлари. Айтайлик,
(3)
(4)
лар мусбат қаторлар бўлсин.