1-§. Gilbert Shmidt teoremasi haqida §. Chiziqli integral tenglamalarni yechish

tengsizlik o’rinli.

Isbot. Avvalo shuni takidlaymizki, Fubini teoremasi va (1.5) shartga ko’ra, deyarli barcha s lar uchun

Kompakt operatorlarning asosiy xossalari mavzusidagi 1.1-natijaga asosan T ham kompakt operator bo’ladi. Teorema isbotlandi.

1.2-teoremaning isboti davomida biz shu narsani o’rnatdikki, har qanday Fredholm operatori chekli o’lchamli operatorlarning norma bo’yicha limitidir.

T1, T2

(1.6) ko’rinishdagi ikkita operator va K1 , K2

ularga mos keluvchi

yadrolar bo’lsin. Agar barcha

L2 a , b

lar uchun T1

T2

bo’lsa, u holda

deyarli

hamma erda

K1 s , t

K 2 s , t .

Haqiqatan

ham,

agar

barcha

L2

a , b

lar uchun

b

T1

T2

s

K1 s , t

K 2 s , t

t dt 0

a

bo’lsa, u holda deyarl i barcha s

a , b

larda

Bu

erdan bizning tasdig’imiz

K1 s , t

K 2

s , t

L

a , b ^2

fazoda ekvivalent funktsiyalar

bitta

Element

Shuning uchun aytish mumkinki, integral operatorlar Bilan yadrolar o’rtasidagi moslik o’zaro bir qiymatlidir. 1.3-teorema. T K s , t yadro Bilan aniqlanuvchi Fredholm operatori bo’lsin. U holda unga qo’shma bo’lgan T * operator K t , s yadro bilan aniqlanadi. Isbot. Fubini teoremasidan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz. Haqiqiy Hilbert fazosi (va demak haqiqiy K yadro) qaraladigan holda o’z-o’ziga qo’shmalik sharti bo’lib, K s , t K t , s

tenglik xizmat qiladi. (1.8) shartni qanoatlantiruvchi yadrolar simmetrik yadrolar deyiladi. Endi (1.8) shartni qanoatlantiruvchi yadroli integral tenglamani o’rganamiz. Yuqorida aytilganidek, bu holda

o’z-o’ziga qo’shma kompakt operator. Demak, bu operatorga Hilbert – Shmidt teoremasini qo’llash mumkin. (1.2) tenglamani qisqacha

ko’rinishda yozamiz. Hilbert – Shmidt teoremasiga asosan, T operator uchun _n xos qiymatlarga mos funktsiyalarning ortonormal sistemasi keluvchi xos shunday

mavjudki, ixtiyoriy			L2	a , b	element yagona usul bilan
^an n	',	' KerT ,