1-§. Gilbert Shmidt teoremasi haqida §. Chiziqli integral tenglamalarni yechish

keluvchi barcha xos funktsiyalarga ortogonal bo’lishi etarli va zarurdir. Bu holda (1.9) tenglama echimlarining soni cheksizdir.

2-§. Chiziqli integral tenglamalarni yechish

Bu paragrafda chiziqli integral tenglamalarni yechishga doir masalarni qaraymiz.

2.1 - misol. L2

,

Hilbert fazosida

u x

1 cos x cos y u y

dy

f x .

T u

x

f

x

(2.1)

2

integral tenglama berilgan. Parametr soni xos qiymat bo’ladi

(2.7) ni (2.3) ga qo’yib, (2.5) tengliklardan foydalansak,

va

larga nisbatan quyidagi

tenglamalar sistemasini olamiz.

Bu sistema

1; 2 da yagona yechimga ega va

teoremaga ko’ra, (2.9) tenglama yechimga ega bo’lishi uchun

f

funktsiya

T1u

u

tenglamaning

barcha

yechimlariga,

ya’ni u

x

const

ga

(1.2-misolga

qarang)

ortogonal bo’lishi zarur va yetarli. Demak, (2.9) tenglama yechimga ena bo’lishi uchun

shartning bajarilishi zarur va yetarli. Agar biz (2.3) belgilashdan foydalansak, (2.9)

Bu yerdan ko’rinib turibdiki, sifatida ixtiyoriy soni olish mumkin. Bu qiymatlarni

(2.11) ga qo’yib, (2.9) tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz.