1-§. Gilbert Shmidt teoremasi haqida §. Chiziqli integral tenglamalarni yechish

a

ko’rinishlarga ega bo’ladi. Bunday tenglamalar birinchi va ikkinchi tur Volterra tenglamalari deyiladi. Volterra tenglamalari Fredholm tenglamalarining xususiy holi bo’lsa-da, ular alohida o’rganiladi, chunki Volterra tenglamalari o’ziga xos bo’lgan xossalarga ega.

Agar (1.1)-(1.4) tenglamalarda f funktsiya nolga teng bo’lsa, bu tenglamalar bir jinsli deyiladi.

Navbatdagi teoremalarni isbotlashda biz integrallash tartibini almashtirish haqidagi Fubini teoremasining natijasidan foydalanamiz. Fubini teoremasi natijasining quyidagi bayoni biz uchun qulaydir.

1.1-teorema (Fubini). Agar K

x , y

funktsiya

a , b

a , b

kvadratda

integrallanuvchi bo’lsa, u holda deyarli barcha x

a , b

y

a , b

larda

b

b

K x , y

^2 dy

K x , y

^2 dx

a

a

integral mavjud va quyidagilar o’rinli

b b

b

b

b

b

K x , y

^2 dx dy

dx

K x , y

^2 dydy

K x , y

^2dx .

a a

a

a

a

a

1.2-teorema. Agar

K

x , y

yadro

(1.5) shartni qanoatlantirsa, u holda

L2 a , b fazoda (1.6) tenglik bilan aniqlanuvchi T operator chiziqli, kompakt va

b b

T

K

s , t

(1.7)

^2 ds dt