1-§. Gilbert Shmidt teoremasi haqida §. Chiziqli integral tenglamalarni yechish

Chiziqli fazoning qism fazosi

Bizga L chiziqli fazoning bo'sh bo'lmagan L0 qism to'plami berilgan bo'lsin.

23.6-ta'rif. Agar L0 ning o'zi L da kiritilgan amallarga nisbatan chiziqli

fazoni tashkil qilsa, u holda L0 to'plam L ning qism fazosi deyiladi.

Boshqacha qilib aytganda, agar ixtiyoriy x; y 2 L0 va a; b 2 C(R) sonlar uchun ax + by 2 L0 bo'lsa, L0 ga qism fazo deyiladi.

Har qanday L chiziqli fazoning faqat nol elementdan iborat fµg qism

fazosi bor. Ikkinchi tomondan, ixtiyoriy L chiziqli fazoni o'zining qism fazosi sifatida qarash mumkin. 23.7-ta'rif. L chiziqli fazodan farqli va hech bo'lmaganda bitta nolmas elementni saqlovchi qism fazo xos qism fazo deyiladi.

23.12-misol. `2 ½ c0 ½ c ½ m fazolarning har biri o'zidan keyingilari

uchun xos qism fazo bo'ladi. 23.13. Endi [a; b] kesmada p(p ¸ 1)¡ darajasi bilan integrallanuvchi funksiyalar fazosi ˜Lp [a; b] ni qaraymiz. Bu fazoning nolga ekvivalent funksiyalaridan tashkil topgan qism to'plamni ˜L(0) p [a; b] ko'rinishda belgilaymiz. Ma'lumki, nolga ekvivalent funksiyalar yig'indisi yana nolga ekvivalent bo'lgan

funksiya bo'ladi. Nolga ekvivalent funksiyaning songa ko'paytmasi ham nolga ekvivalent funksiya bo'ladi. Demak, ˜L (0) p [a; b] to'plam ˜Lp [a; b] fazoning xos qism fazosi bo'ladi. 23.14. O'zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi V [a; b] ni qaraymiz.

Ma'lumki, [a; b] kesmada absolyut uzluksiz funksiyalar to'plami V [a; b] ning qism to'plami bo'ladi. Absolyut uzluksiz funksiyalar to'plami funksiyalarni

qo'shish (23.3) va songa ko'paytirish (23.4) amallariga nisbatan yopiq to'plam. Shuning uchun u V [a; b] fazoning qism fazosi bo'ladi va u AC[a; b] bilan

belgilanadi.

23.15. V [a; b] fazoda f(a) = 0 shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar

to'plamini qaraymiz. Bu to'plam funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan yopiq to'plamdir. Shuning uchun u V [a; b] fazoning qism fazosi bo'ladi va u V0[a; b] bilan belgilanadi.

23.16. Yana o'zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi V [a; b] ni qaraymiz.

Ma'lumki, [a; b] kesmada monoton funksiyalar to'plami V [a; b] ning

qism to'plami bo'ladi. Ammo ikki monoton funksiyaning yig'indisi har doim

monoton funksiya bo'lavermaydi. Bunga quyidagi misolda ishonch hosil qilish mumkin. x(t) = t2 +1 ; y(t) = ¡2t funksiyalarning har biri [0; 2] kesmada monoton funksiya bo'ladi, ammo ularning yig'indisi x(t) + y(t) = (t ¡ 1 )2 funksiya [0; 2] kesmada monoton emas.

Demak, [a; b] kesmada monoton

funksiyalar to'plami V [a; b] fazoning qism fazosi bo'la olmaydi. Demak, chiziqli

fazoning har qanday qism to'plami qism fazo tashkil qilavermas ekan.

Bizga L fazoning bo'sh bo'lmagan fxig qism to'plami berilgan bo'lsin. U

holda L chiziqli fazoda fxig sistemani o'zida saqlovchi minimal qism fazo

mavjud. Haqiqatan ham, fxig sistemani saqlovchi hech bo'lmaganda bitta qism

fazo mavjud, bu L ning o'zi.

Ixtiyoriy sondagi qism fazolarning kesishmasi yana qism fazo bo'ladi. Haqiqatan

ham, agar

L* =Li

bo'lib x; y 2 L* bo'lsa, u holda ta'rifga ko'ra ixtiyoriy i uchun x; y 2 Li

bo'ladi. Li qism fazo bo'lganligi uchun ∝ x + ¯ y 2 Li munosabat barcha ∝; ¯ sonlar uchun o'rinli. Demak, ∝ x + ¯ y 2 L* bo'ladi.

Endi fxig sistemani saqlovchi L ning barcha qism fazolarini olamiz va

ularning kesishmasini qaraymiz hamda uni L (fxig) orqali belgilaymiz. L (fxig) qism fazo fxig sistemani saqlovchi minimal qism fazo bo'ladi. Bu L(fxig) minimal qism fazo fxig sistemadan hosil bo'lgan qism fazo yoki fxig sistemaning chiziqli qobig'i deyiladi.

Xulosa

Функционал анализ фанининг пайдо бўлишида интеграл тенгламаларни ечиш усулларини ишлаб чиқиш катта аҳамиятга эга бўлган. Интеграл операторлар назариясининг ривожланиши компакт операторлар назариясининг ривожида муҳим ўрин тутган. Функционал аналтз курсини ўрганишда интеграл операторлар ва уларга боғлиқ интеграл тенгламаларни билиш зарурдир. Битирув малакавий ишида интеграл тенгламаларнинг баьзи масалалари қараб чиқилди.

Bitiruv malakaviy ishining dastlabki ikkita paragrafida chiziqli integral tenglamalar ta’rifi, asosiy xossalari ham chiziqli integral tenglamalarni yechishga doir masalalar berilgan.

Ishning co’ngi ikkita paragrafida chiziqli integral tenglamalar uchun Fredholm teoremalari ham aynigan yadroli integral tenglamalar qaralgan.

Adabiyotlar dizimi

1. 
   Аюпов Ш.А., Ибрагимов М.М., Кудайбергенов К.К. Функционаллық анализден мисол ва масалалар, Нөкис, «Билим», 2009.
   
2. 
   Ayupov Sh.A., Berdikulov M.A., Turgunbayev R.M. Funksional analiz. Toshkent, 2007.
   
3. 
   Abdullaev J., Ganixojaev R.N., Shermatov M.H., Egamberdiev O.I. Funksional analiz, Toshkent, 2009.
   
4. 
   Gorodetskiy V.V., Nagnibida N.I., Nastasiev P.P. Metody resheniya zadach po funksional'nomu analizu. M.: Vysshaya shokla, 1990.
   
5. 
   Kantorovich L.V., Akilov G.P. Funksional'niy analiz. M.: Nauka, 1977.
   
6. 
   Kirillov A.A., Gvishiani A.D. Teoremi i zadachi funksional'nogo analiza. M.: Nauka, 1979.
   
7. 
   Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementi teoriy funksiy i funksional'nogo analiza. M: Nauka, 1977.
   
8. 
   Kutateladze S.S. Osnovy funksional'nogo analiza. Novosibirsk, 2001
   
9. 
   Sarimsakov T.A. Funksional analiz kursi. Toshkent, O'qituvchi, 1980.
   

10. Sarimsakov T.A. Haqiqiy o'zgaruvchili funksialar nazariyasi. Toshkent,

1989.