1-§. Xos qiymatlarning va xos funksiyalarning sodda xossalari

Isbot. Krum almashtirishi yordamida (3.1) chegaraviy masalani quyidagi

(3.32)

Dirixle masalasiga keltiramiz. Bu yerda

(3.33)

funksiya (3.1) chegaraviy masalaning xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyasi. funksiya esa quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

(3.34)

(3.35)

Agar (3.1) chegaraviy masalaning xos qiymatlari bo`lsa, u holda (3.32) masalaning xos qiymatlari bo`ladi. (3.33) va (3.34) tengliklardan ushbu

(3.36)

formula kelib chiqadi. (3.32) chegaraviy masala uchun regulyarlashtirilgan izlar formulasini yozamiz:

(3.37)

Bu yerda

(3.38)

(3.33) ifodani (3.38) tenglikka qo`yib, (3.35) formulalarni inobatga olsak,

kelib chiqadi. Endi (3.36) tenglikni (3.37) formulaga qo`yib, ushbu

izlar formulasi kelib chiqadi.

4-§. Masalalar yechish

Misol.№1

Ushbu Dirixle chegaraviy masalasi berilgan bo`lsin

(4.1)

(4.2)

holida (4.1)+(4.2) chegaraviy masalaning xos qiymatlarini va ortonormallangan xos funksiyalarni topib olamiz:

so`ngra Laks teoremasidagi ni hisoblaymiz

(4.1) tenglikni oraliqda qarab o`rniga ni qo`yamiz:

bundan foydalanib (4.6) tenglikni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:

() tenglikdan quyidagi

tenglik kelib chiqadi.