1-§. Xos qiymatlarning va xos funksiyalarning sodda xossalari

Lemma 3.1. (P.Laks). Ushbu

, (3.16)

qator umumlashgan ma`noda yaqinlashuvchi bo`ladi va uning yig`indisi parametrga bog`liq bo`lmaydi.

Isbot. Ta’rif 3.2 ga ko`ra ushbu

,

qator umumlashgan ma’noda yaqinlashuvchi bo`ladi.

(3.16) qator umumlashgan ma`noda yaqinlashuvchi bo`lishi, ortonormallangan xos funksiyalarning ushbu

asimptotikasidan kelib chiqadi. (3.16) qator yig`indisini bilan belgilaymiz

,

va bu funksiyaning parametrga bog`liq emasligini ko`rsatamiz. Buning uchun bo`yicha olingan hosila nolga teng bo`lishini ko`rsatish kifoya:

, (3.17)

, (3.18)

. (3.19)

Xos funksiyalarning ortonormallanganligini, ya’ni

bo`lishini e’tiborga olib, ushbu

tenglikni hosil qilamiz. (3.19) formulaga asosan

(3.20)

bo`ladi.

(3.18) ifodani (3.17) tenglikka qo`yamiz:

(3.21)

(3.20) tenglikka ko`ra (3.21) qatorning yig`indisi uchun bajariladi, ya’ni funksiya parametrga bog`liq emas.

Lemma 1 isbotlandi.

Bu lemmaga asosan quyidagi tenglik o`rinli:

(3.15) tenglikning o`ng tarafidagi qator o`rniga ni qo`yib (3.5) tenglikni hosil qilamiz:

(3.1) chegaraviy masalaning regulyarlashtirilgan izini hisoblashdan oldin, quyidagi

(3.22)

yordamchi Dirixle masalasining izini hisoblaymiz.

(3.22) chegaraviy masalaning xos qiymatlarini orqali belgilaymiz. Bu holda xos qiymatlari uchun quyidagi

(3.23)

asimptotik formula o`rinli bo`lishi bizga ma’lum. Bu yerda

(3.24)

Ushbu

(3.25)

sonli qator (3.23) asimptotik formulaga ko`ra absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi.

Shuning uchun (3.25) sonli qator yagona yig`indiga ega bo`ladi.

Ta’rif 3.3. (3.25) sonli qatorning yig`indisiga (3.22) Dirixle masalasining izi deyiladi.

Teorema 3.2. (I.M.Gelfand, I.M.Levitan). (3.22) Dirixle chegaraviy masalasining regulyarlashtirilgan izi uchun quyidagi

(3.26)

formula o`rinli.

Isbot. (3.26) formulani P.Laks usulidan foydalanib isbotlaymiz. Buning uchun bo`lgan holda hosil bo`lgan

chegaraviy masalaning xos qiymatlarini

va ortonormallangan xos funksiyalarini

topib olamiz. So`ngra Laks teoremasidagi

(3.27)

funksional qatorning yig`indisini topamiz. (3.27) qator odatdagi ma’noda uzoqlashtiruvchi, chunki qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi. Ammo bu qator umumlashgan ma’noda yaqinlashadi. Umumlashgan funksiyalar kursidan (3.21) bizga quyidagi tengliklar ma’lum:

(3.28)

(3.29)

(3.28) tenglikni oraliqda qarasak,

(3.30)

bo’ladi. (3.30) tenglikda o`rniga ni qo`yamiz:

(3.31)

(3.29) formuladan foydalanib, (3.31) tenglikni quyidagi ko`rinishda yozamiz:

Demak, ushbu

formula o`rinli bo`lar ekan. Bundan foydalanib (3.27) tenglikni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:

(3.5) tenglikdan quyidagi

tenglik kelib chiqadi.

Endi (3.1) chegaraviy masalani regulyarlashtirilgan izini Krum almashtirishidan foydalanib hisoblashjmiz mumkin.

Teorema 3.3 (B.M.Levitan). (3.1) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining regulyarlashtirilgan izi uchun ushbu

formula o`rinli. Bu yerda