1. Ehtimollar nazariyasi predmeti

Ehtimollar nazariyasi— biron bir tasodifiy hodisalarning roʻy berish ehtimoliga koʻra ular bilan qandaydir tarzda bogʻlangan boshqa tasodifiy hodisalarning roʻy berishi ehtimollarini topish bilan shugʻullanadigan matematika sohasi. Biror hodisaning roʻy berish ehtimoli, mas, teng ekanligi uncha axamiyatli emas, chunki odam ishonchli natijaga erishishni xohlaydi. Shu nuqtai nazardan biron bir A hodisa roʻy berish ehtimoli 1 ga ancha yaqinligi (yoki roʻy bermaslik ehtimoli 0 ga yaqinligi) haqidagi xulosalar katta ahamiyatga ega. Bunday hodisa amalda muqarrar roʻy berishi ishonchli boʻlgan hodisa deb hisoblanadi. Ham ilmiy, ham amaliy ahamiyatga ega boʻlgan bunday xodisalar, odatda A hodisa koʻp sonli tasodifiy, bir-biri bilan sust bogʻliq boʻlgan omillar taʼsirida roʻy ro`y bermaydi, degan farazga asoslanadi (qarang Katta sonlar qonuni). Shuning uchun Ehtimollar nazariyasini koʻp sonli tasodifiy omillarning oʻzaro taʼsiridan paydo boʻladigan qonuniyatlarni aniqlaydigan va oʻrganadigan mat. boʻlimi deyish mumkin.
Tabiatshunoslikda muayyan shartlar majmui 5 bilan shu shartlar bajarilganda roʻy berganini yoki roʻy bermaganini aniq aytish mumkin boʻlgan A hodisa orasidagi bogʻlanish qonuniyatini bayon etishda quyidagi 2 sxema ishlatiladi: 1) shartlar majmui 5 bajarilgan har bir holda A hodisa roʻy beradi. Mas, klassik mexanikaning qonunlari boshlangʻich shartlar va jismga taʼsir etuvchi kuchlar berilganda jism harakati bir qiymatli aniqlanishini tasdiqlaydi; 2) shartlar majmui 5 bajarilganda A hodisa maʼlum R(A/5)=r ehtimol bilan roʻy beradi. Mas, radioaktiv nurlanish qonunlari har bir radioaktiv modda uchun berilgan vaqt oraligʻida bu modda N ta atomi yemirilishining maʼlum ehtimoli borligini tasdiqlaydi. Ikkinchi sxema bilan ifodalanuvchi qonuniyatlar statistik qonuniyatlar deyiladi. Tugʻilish va oʻlim bilan bogʻliq statistik qonuniyatlari ham (mas, oʻgʻil tugʻilishi ehtimoli 0,515 ekanligi) avvaldan maʼlum. 19-asr oxiridan boshlab fizika, kimyo, biologiya va boshqalar fanlarda koʻplab statistik qonuniyatlar kashf etiladi. Turli sohalardagi statistik qonuniyatlarni Ehtimollar nazariyasi usullari bilan oʻrganish hodisalarning ehtimollari hamma vaqt baʼzi oddiy munosabatlarni qanoatlantirishga asoslangan. Shu oddiy munosabatlar asosida hodisalarning roʻy berish ehtimollari xossalarini oʻrganish Ehtimollar nazariyasi predmetini tashkil qiladi.
O’zgаrmаs ko’pаytuvchini аniq intеgrаl bеlgisidаn tаshqаrigа chiqаrish mumkin: аgаr A=const bo’lsа u holda dх=А.
Isbоt. dх= (₁) x₁=(_i) x_i=Аdх
2-хоssа. Bir nechа funksiyalаr аlgеbrаik yig’indisining аniq intеgrаli qo’shiluvchilаr аniq intеgrаllаrining yig’indisigа tеng (f₁(x) +f₂(x)) dх = (f₁(x) dх + f₂(x) dх
Tеоrеmа yuqоridаgidеk isbоtlаnаdi.
3-хоssа. Аgаr [a,b] (a<b) kеsmаdа f(x) vа (x) funksiyalаr f(x) ≤ (x) shartni qanoatlantirsa, u hоldа f(x) dх ≤ (x) dх
Isbоt. Quyidаgi аyirmаni qаrаymiz.
(x) dх - f(x) dх =(((x) dх - f(x) dх = ((_i)-f(_i)) x_i  0 chunki (_i)-f(_i))0, x >0 dеmаk ((x)-f(x) dх >0 bundаn f(x) dх ≤ (x) dх kеlib chiqаdi.
4-хоssа. Аgаr M vа m miqdоrlаr f(x) funksiyaning [a,b] kеsmаdаgi eng kаttа vа eng kichik qymаtlаri bo’lib, a bo’lsа u hоldа m(b-a)≤ f(x) dх≤M(b-a).
5-хоssа. (O’rtа qymаt hаqidа tеоrеmа). Аgаr f(x) funksiya [a,b] kеsmаdа uzluksiz bo’lsа, u hоldа bu kеsmаdа shundаy C nuqtа tоpilаdiki,bu nuqta uchu f(x) dх=(b-a)f() tеnglik o’rinli bo’ladi.
6-хоssа. f(x) dх= - f(x) dх Intеgrаllаsh chеgаrаlаri o’rni o’zgаrtirilgаn integral оldigа “–“ ishоrаsi quyilsа tеnglik o’zgаrmаydi.
7-хоssа. Аgаr quyidаgi uch intеgrаlning hаr biri mаvjud bo’lsа, u hоldа hаr qаndаy uchtа а,b,c sоn uchun f(x) dх= f(x) dх+ f(x) dх tеnglik o’rinli bo’lаdi.
Kеyingi 4 ta хоssаning isbоtlаri tаlаbаlаrgа mustаqil ish sifаtidа berilаdi.
Muqarrar hodisa deb albatta ro‗y beradigan hodisaga aytiladi. Mumkin 
bo‘lmagan hodisa deb mutlaqo ro‗y bermaydigan hodisaga aytiladi. Tasodifiy 
hodisa deb ro‗y berishi ham, ro‗y bermasligi ham mumkin bo‗lgan hodisaga 
aytiladi. 
Ehtimollar nazariyasi yakka hodisa ro‗y berish yoki bermasligini oldindan aytib 
berish vazifasini o‗z oldiga qo‗ymaydi, chunki tasodifiy hodisaga hamma shart sharoitlarning ta‘siri-ni hisobga olish mumkin emas. Boshqa tomondan
qaraganda, konkret tabiatidan qat‘iy nazar, yetarlicha ko‗p sondagi bir jinsli 
tasodifiy hodisalar tayin qonuniyatlarga, aniqrog‗i ehtimoliy qonuniyatlarga bo‗ysunadi. 
Shunday qilib, ehtimollar nazariyasining predmeti ommaviy bir jinsli 
tasodifiy hodisalarning ehtimoliy qonuniyatlarini o‘rganishdir. 
XVII asrning boshlaridayoq ommaviy tasodifiy hodisalarga xos bo‗lgan 
ba‘zi-bir masalalarni tegishli matematik uslublar-dan foydalangan holda yechishga 
urinishgan. B. Paskal, P. Ferma va X. Gyuygens XVII asrning o‗rtalarida turli 
qimor o‗yinlarining kechishi va natijalarini o‗rgana borib, klassik ehtimollar 
nazariyasiga asos solishdi. Ular o‗z ishlarida ehtimollik va tasodifiy miqdorning 
matematik kutilmasi tushunchalaridan oshkor bo‗lmagan holda foydalanishgan. 
Faqat XVIII asrning boshida Ya.Bernulli ehtimollik tushunchasini shakllantiradi. 
Ehtimollar nazariyasining keyingi muvaffaqiyatlari Muavr, Laplas, Gauss, 
Puasson va boshqalarning nomlari bilan bog‗liq. 
Ehtimollar nazariyasining rivojlanishiga P.L. Chebishev, A.A. Markov, 
A.M. Lyapunov, S.N. Bernshteyn, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Xinchin, A. Proxorov 
va boshqalar kabi rus va sovet matematiklari ulkan hissa qo‗shishgan. 
Akademiklar V.I. Romanovskiy, S.X. Sirojiddinov, T.A. Sarimsoqov, T.A. 
Azlarov, Sh.K. Farmonov, professorlar I.S. Badalboyev, M.U. G‗ofurov, Sh.A. 
Xoshimov kabi yorqin namoyondalari bo‗lgan O‗zbekiston maktabining ehtimollar 
nazariyasini rivojlantirishdagi alohida o‗rni bor. 
Yuqorida ta‘kidlab o‗tilganidek, amaliyot ehtiyojlari ehtimollar 
nazariyasining paydo bo‗lishiga ko‗maklashgan holda uning fan sifatida 
rivojlanishini ta‘minladi, yangi tarmoqlar va bo‗limlarning paydo bo‗lishiga olib 
keldi. Vazifasi bosh to‗plamga xos bo‗lgan tavsiflarni tanlanma bo‗yicha ma‘lum 
bir ishonchlilik darajasida tiklashdan iborat bo‗lgan matematik statistika ehtimollar 
nazariyasiga tayanadi. Ehtimollar nazari-yasidan tasodifiy- jarayonlar nazariyasi, 
ommaviy xizmat ko‗rsatish nazariyasi, axborot nazariyasi, ishonchlilik nazariyasi, 
ekonometrik modellashtirish kabi fan tarmoqlari ajralib chiqdi. 
Ehtimollar nazariyasini tatbiq qilishning eng muhim yo‗-nalishlari sifatida 
iqtisodiyot, texnika fanlarini ko‗rsatish mumkin. Hozirgi paytda ehtimollar 
nazariyasiga tayanuvchi mo-dellashtirishlarsiz, korrelyatsiyaviy va regressiyaviy 
tahlil, adekvatlik hamda «sezgir» adaptiv modellarisiz iqtisodiy-texnik tasodifiy 
jarayonlarni tadqiq etishni tasavvur qilish qi-yin. 
Avtomobil oqimlarida ro‗y beradigan hodisalar, mashina qismlarining 
ishonchlilik darajasi, yo‗llardagi avtohalokatlar, yo‗llarni loyihalash jarayonidagi 
har xil holatlar determinirlanmagan bo‗lganligi sababli ehtimollar nazariyasi 
uslublari orqali tadqiq etiluvchi muammolar doirasiga kiradi. 
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari — tajriba yoki eksperiment 
va hodisalar. Muayyan shart-sharoit va holatlarda amalga oshiriladigan xatti-
harakatlarni eksperiment deb ataymiz. Eksperimentning har bir amalga oshishi 
tajriba deb ataladi. 
Eksperimentning har qanday mumkin bo‗lgan natijasi elementar hodisa deb 
ataladi va 

orqali belgilanadi. Tasodifiy hodisalar bir qancha elementar