1. Eseli integrallardıń qollanılıwları Úsh eseli integral. Úsh eseli integraldı esaplaw. Eki eseli integraldıń bazıbir qollanıwları

2. Tegis figuranıń maydanı. Usı baptıń 1-§ inde oblasttıń maydanı tómendegi

integralǵa teń bolıwın kórdik. Demek, eki eseli integral járdeminde tegis figuranıń maydanın esaplaw múmkin eken.
Dara jaǵdayda, oblast

iymek sızıqlı trapeciyadan ibarat bolsa (f(x) funkciya [a,b] da úzliksiz), ol jaǵdayda

bolıp, 1-bólim, 10-bap, 2-§ inde tabılǵan formulaǵa kelemiz.
Mısal. Mına

sızıqlar menen shegaralanǵan figuranıń maydanı tabılsın. Bul sızıqlar paraboladan ibarat (23-sızılma).

Tómendegi

23-sızılma

sistemanı sheship, parabolalardıń kesilisken noqatları
hám
ekenin tabamız: qaralıp atırǵan figura Ox kósherine qarata simmetriyalı bolıwın itibarǵa alsaq, ol jaǵdayda nıń maydanı

boladı, bunda
.
Integraldı esaplap, tómendegini tabamız:


Demek,

3. Bettiń maydanı hám onıń eseli integral arqalı anıqlanıwı. Eki eseli integral járdeminde bet maydanın esaplaw múmkin. Bul funkciyanıń grafigi 17-sızılmada suwretlengen. (S) betten ibarat bolsın.
(D) oblasttıń P bóliniwin alayıq. Onın bólekleri bolsın. Bul bóliniwdiń bóliwshi sızıqların baǵıtlawshılar sıpatında qarap, olar arqalı jasawshıları 0z kósherine parallel bolǵan cilindrlik betler ótkizemiz. Ayqın, bul cilindrlik betler (S) betti bóleklerge ajıratadı. hár bir da ıqtıyarlı noqat alıp, (S) bette oǵan sáykes noqat nı tabamız.
Soń (S) betke usı noqatta urınba tegislik júrgizemiz. Bul urınba tegislik penen joqarıda aytılǵan cilindirlik bettiń kesilsiwinen hasıl bolǵan urınba tegislik bólegin menen onıń maydanı menen belgileyik.
Geometriyadan málim, oblast nıń ortogonal proekciyası bolıp,
(3)
boladı, bunda betke noqatta ótkizilgen urınba tegislik normalınıń Oz kósheri menen jasaǵan múyesh.
Ayqın, da nıń diametri de nol’ge umtıladı.
Eger da qosındı shekli limitke iye bolsa, bul limit (S) bettiń maydanı dep ataladı. Demek, (S) bettiń maydanı
(18.37)
boladı.
Joqarıda qaralıp atırǵan funkciya (D) oblastta dara tuwındılarǵa iye bolıp, bul dara tuwındılar (D) oblastta úzliksiz bolsın. Ol jaǵdayda

boladı.
(3) qatnastan

bolıwın tabamız. Demek,
(18.38)
Teńliktiń oń jaǵındaǵı qosındı

funkciyanıń integral qosındısı (qarań, 1-§). Bul funkciya (D) oblastta úzliksiz, demek, integrallanıwshı.
Sonıń ushın

boladı.
Sonday qılıp. (18.37) hám (18.38) qatnaslardan
(18.39)
bolıwı kelip shıǵadı.
Mısal. Ultanınıń radiusı r, biyikligi h bolǵan dóńgelek konustıń qaptal beti tabılsın.
Bunday konus betiniń teńlemesi

boladı. Joqarıdaǵı (18.39) formulaǵa muwapıq

boladı, bunda

Endi

hám

ekenligin itibarǵa alıp, tómendegini tabamız: