1. Funkcionaldıń kúshli hám kúshsiz minimumları. Múmkin bolǵan iymek sızıqlar Egerde funkcionalı ekstremumǵa izertlenip atırǵan bolsa hám -onıń ekstremum «noqatına»

5 - anıqlama. (Funkcionaldıń ekinshi variaciyasınıń birinshi anıqlaması). Egerde funkcionalınıń ósimin
(4.7)
túrinde jazıw múmkin bolsa, onda bul funkcional ekinshi variaciyaǵa iye boladı dep aytadı. Bunda - sızıqlı funkcional, - kvadratlıq funkcional hám ge umtılǵanda ge umtıladı dep uyǵarıladı.
kvadratlıq funkcionalı funkcionalınıń ekinshi variaciyası yamasa ekinshi differencialı dep ataladı hám ol arqalı belgilenedi.
Egerde funkcionaldıń ekinshi variaciyası bar bolsa, onda ol bir mánisli anıqlanadı.
6 – anıqlama. (Funkcionaldıń ekinshi variaciyasınıń ekinshi anıqlaması). funkcionalınıń ekinshi variaciyası dep, funkciyasınıń parametri boyınsha alınǵan ekinshi tárepli tuwındısınıń bolǵandaǵı mánisine, yaǵnıy
(4.8)
teńlgine aytıladı.
Tómende kóp ushırasatuǵın, integral tipindegi funkcionallar ushın funkcionaldıń ekinshi variaciyasınıń joqarında keltirilgen eki anıqlaması bir-biri menen sáykes keledi.
4-mısal Funkciyalardıń keńisliginde anıqlanǵan
(4.9)
funkcionalınıń ekinshi variaciyasın tabıń.
Sheshiliwi. Funkcionaldıń ekinshi variaciyasınıń birinshi anıqlamasınan paydalanamız:
(4.10)
Sonda tıń berilgen mánislerine (10) nıń on jaǵındaǵı birinshi qosılıwshı qa qarata sızıqlı funkcional, ekinshi qosılıwshı kvadratlıq funkcional boladı. Al, úshinshi qosılıwshını tómendegishe bahalawǵa boladı:

(Bul jerde keńisliginiń normasınan paydalanıldı). Bunnan (10) - nıń oń jaǵındaǵı sońǵı qosılıwshınıń túrinde kórsetiletuǵını, ge umtılǵanda ge umtılatuǵını kelip shıǵadı. Funkcionaldıń ekinshi variaciyasınıń birinshi anıqlaması boyınsha, berilgen (9) funkcionalı ekinshi variaciyaǵa iye boladı hám ol tómendegi kóriniste jazıladı:

Endi nátiyjelerin salıstırıw ushın (9) funkcionalınıń ekinshi variaciyasın, onıń ekinshi anıqlamasınan paydalanıp tabamız:





.
Bul nátiyje (9) funkcionalınıń, onıń ekinshi variaciyasınıń birinshi anıqlamasınan paydalanıp tabılǵan ekinshi variaciyası menen tolıq sáykes keledi.