1. Funkcionaldıń kúshli hám kúshsiz minimumları. Múmkin bolǵan iymek sızıqlar Egerde funkcionalı ekstremumǵa izertlenip atırǵan bolsa hám -onıń ekstremum «noqatına»

2-mısal. funkciyalar klassında anıqlanǵan

funkcionalın qaraymız. Bul funkcionaldıń funkciyasında nolinshi tártipli jaqınlıq mánisinde úzlikli bolatuǵının kórsetemiz. Haqıyqatında da, meyli hám . Sonda

boladı hám ke umtılǵanda ge umtıladı.
Ekinshi jaqtan,

mánisi nen ǵárezli bolmaydı. Solay etip, ke umtılǵanda mánisine umtılmaydı. Demek, berilgen funkcional funkciyasında nolinshi tártipli jaqınlıq mánisinde úzlikli boladı.
2 - anıqlama. Meyli funkciyalarınıń sızıqlı normalanǵan keńisligi bolsın.
Yegerde keńisliginde anıqlanǵan funkcionalı tómendegi shártlerdi qanaatlandırsa:
1)
bolsa, bunda -erkli turaqlı;
2)
bolsa, onda ol sızıqlı funkcional dep ataladı.
3- anıqlama. (Sızıqlı funkcionaldıń ekinshi anıqlaması). Egerde funkcionalı: 1) úzliksiz bolsa; 2) qálegen hám funkciyaları ushın

shártin qanaatlandırsa, onda ol sızıqlı funkcional dep ataladı.
3 - mısal. Funkciyalardıń klassında anıqlanǵan

f
unkcionalı sızıqlı funkcional boladı.

1. 
   shártiniń orınlanıwı:
   

2) shártiniń orınlanıwı:

Demek, berilgen funkcional sızıqlı funkcional boladı.
3. Funkcionaldıń variaciyası.
1. Funkcionaldıń birinshi variaciyası. Meyli funkcionalı funkciyalarınıń kópliginde berilgen bolsın.
1 - anıqlama. Argumenttin ósimine sáykes funkcionalınıń ósimi dep,
(4.1)
shamasına aytıladı. Bunda
2 - anıqlama. (Funkcionaldıń variaciyasınıń birinshi anıqlaması). Egerde funkcionalınıń

ósimin
(4.2)
túrinde kórsetiw múmkin bolsa, onda onıń shamasına qarata sızıqlı úlesi funkcionalınıń variciyası dep ataladı hám dep belgilenedi. Bul jaǵdayda funkcionalı noqatında (funkciyasında) differenciallanatuǵın funkcional dep ataladı. Bunda ke qarata sızıqlı funkcional hám ge umtılǵanda ge umtılatuǵın shama.