1. Кинематика материальной точки

M = ΣM^*_i = 0.      
В соответствии с законом динамики вращательного движения и уравнением момент импульса замкнутой системы при осуществлении операции ее поворота сохраняется.
L = M/dt = M^*/dt = 0.
Таким образом, соблюдение условия позволяет получить закон сохранения момента импульса замкнутой системы, используя для этого вместо третьего закона Ньютона одно из свойств симметрии пространства - его изотропность.
5. Поступательное и вращательное движение твердого тела
Поступательное движение твердого тела – это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, при его движении остается параллельной своему начальному положению.
Примеры поступательного движения: движение педалей велосипеда относительно его рамы, движение поршней в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, движение кабин колеса обозрения относительно Земли (рисунок 1.1) и т.д. 

Рис. 1.1

Теорема. При поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения точек тела одинаковы.
Доказательство. 
Если выбрать две точки твердого тела А и В (рисунок 1.2), то радиусы-векторы этих точек связаны соотношением

Траектория точки А – это кривая, которая задается функцией r_A(t), а траектория точки B – это кривая, которая задается функцией r_B(t). Траектория точки B получается переносом траектории точки A в пространстве вдоль вектора AB, который не меняет своей величины и направления во времени (AB = const). Следовательно, траектории всех точек твердого тела одинаковы.
Продифференцируем по времени выражение

Получаем

Рис. 1.2

Продифференцируем по времени скорость и получим выражение a_B = a_A. Следовательно, скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы.
Для задания поступательного движения твердого тела достаточно задать движение одной из его точек:


Вращательное движение – это движение твердого тела, имеющего как минимум две неподвижные точки (рисунок 1.3). Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Положение тела определено, если задан угол φ между плоскостями П₀ и П , одна из которых неподвижна, а другая жестко связана с телом.


φ=φ(t) – уравнение вращательного движения твердого тела.

Рис. 1.3

За положительное направление отсчета принимается вращение против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу положительному направлению оси z. Траекториями точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
Для характеристики изменения угла поворота с течением времени вводится величина, называемаяугловой скоростью ω:

В технике угловая скорость – это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За одну минуту тело повернется на угол 2π⋅ n, где n – число оборотов в минуту (об/мин). Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим

Вектор угловой скорости – это вектор, направленный по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки, с модулем, равным модулю алгебраической угловой скорости

где k – единичный вектор оси вращения.
Угловое ускорение – мера изменения угловой скорости:



Вектор углового ускорения – производная вектора угловой скорости по времени (рис. 1.4)

Рис. 1.4

Если ε >0 и ω >0 (рисунок 1.4), то угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону. Направление векторов ω и ε совпадают, оба они направлены в положительную сторону оси вращения Oz.
При ε <0 и ω <0 – тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Направление векторов ω и ε совпадают, оба они направлены в отрицательную сторону оси вращения Oz .
Если ε <0 и ω >0, то имеем замедленное вращение в положительную сторону. Векторыω и ε направлены в противоположные стороны.
Если ε >0 при ω <0, то имеем замедленное вращение в отрицательную сторону. Векторыω и ε направлены в противоположные стороны.
Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным. Уравнениеравномерного вращения