1-ma’ruza. Differensial tenglamalar sistemasini normal koʻrinishiga keltirish. Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi yechimlarining xossalari

Sistema uchun o’zgarmaslarni variasiyalash metodi

(Lagranj metodi).
TEOREMA. Agar (1) sistemaga mos bo’lgan (2) bir jinsli chiziqli differensial tenglama sistemani umumiy yechimi ma’lum bo’lsa, (1) sistemaning umumiy yechimi kvadratura yordamida aniqlanadi.

ISBOT. Faraz etaylik (2) sistemaning umumiy yechimi

(5)

bo’lsin. Bunda c_k ni x ning funksiyasi deb c_k(x) larni aniqlash uchun (5) ni (1) ga olib borib qo’yamiz:

yoki

(6)

lar (2) sistemaning fundamental yechimlar sistemasi bo’lgani uchun kvadrat qavs ichidagi ifoda nolga teng bo’ladi u holda (6) dan bu esa larga nisbatan noma’lumli - ta bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasidan iborat bo’lib, uning asos determinanti bo’lmagani uchun (7) sistemadan lar bir qiymatli aniqlanadi, ya’ni



bunda Vronskiy determinantining , elementining algebraik tuldiruvchisidir.

Keyingi tenglikning dan oralig’ida integrallasak

(8) .

ni (5) ga qo’ysak, (1) sistemaning umumiy yechimi

ga ega bo’lamiz. Bundagi birinchi summa (2) sistemaning umumiy yechimi bo’lib, ikkinchi summa esa (1) sistemaning xususiy yechimidir.

Misol-1