1-ma’ruza. Differensial tenglamalar sistemasini normal koʻrinishiga keltirish. Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi yechimlarining xossalari

TEOREMA 5. Agar (1) sistemaning fundamental yechimlar sistemasi bo’lsa, u holda (1) sistemaning umumiy yechimi

dan iborat.

ISBOT. 1 va 2 teoremalarga asosan (6), (1) sistemaning yechimi bo’ladi. Uning umumiy yechim ekanligini ko’rsatish uchun undagi o’zgarmaslarni -c_k shundayaniqlab olish mumkin bo’lsakim x=x₀ bo’lganda (7) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi tenglamaning hamma xususiy yechimlarini aniqlash mumkin bo’lsin ixtiyoriy son.

(7) ni (6) ga olib borib qo’ysak c_k ga nisbatan n-ta birjinsli bo’lmagan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz.

(8)

Bu sistemaning asos determinanti Vronskiy determinantidan iborat bo’lib, u nolga teng bo’lmaydi. Chunki shartga asosan lar (1) sistemaning fundamental yechimlar sistemasidan iborat.

Shuning uchun (8) sistemadan lar bir qiymatli aniqlanadi larning bu qiymatlarini (6) ga olib borib qo’ysak boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi (1) sistemaning hamma xususiy yechimlarini aniqlash mumkin.

Misol-1. Agar fundamental yechimlar sistemasi berilgan bo’lsa, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasini toping.

Faraz etaylik izlanayotgan tenglama

(9)

bo’lsin.

Bunda lar aniqlanishi kerak bo’lgan noma’lum funksiyalar.

Fundamental yechimlar sistemasidan chisini (9) tenglamaga qo’ysak

(10)

ayniyatiga ega bo’lamiz. Bu esa larga nisbatan noma’lumli ta tenglamalar sistemasidan iboratdir. Bu sistemaninig asos determinanti Vronskiy determinantidan iborat bo’lgani uchun; undan lar bir qiymatli aniqlanadi. Bu topilgan -larni (9) tenglama qo’ysak izlangan tenglamaga ega bo’lamiz.

Buni determinant shaklida ham yozish mumkin

Misol-2y₁₁=x+1 z₁₂=x

y₂₁=2 z₂₂=x

ikki noma’lumli y, z tenglamalarning fundamental yechimlar sistemasi berilgan bo’lsa, tenglamani uzini aniqlash.

y_ij j-noma’lum funksiya, i-yechimi