1-ma’ruza Mavzu: Eyler hayoti va ijodi. Funksiya tushunchasining rivojlanishi. Matematikaning yangi bilimlarining paydo bo’lishi va rivojlanishi. Noevklid geometriyaning kashf qilinishi. Leonard Eyler

Funksiya tushunchasining rivojlanishi

Funksiya tushunchasi to’plam tushunchasi kabi asosiy va boshlang’ich hisoblanadi.

F. Xausdorf

Qadimda kishilar dastlab funksional bog’lanishlarga amaliy faoliyatlarida duch kelganlar. Masalan, hunarmandchilikda qancha ko’p mahsulot tayyorlansa, foyda ham shuncha ko’p, bo’lishini, ya’ni mahsulot miqdorining foydaga bog’liqligini tushunganlar. Keyinchalik bunga o’xshash teskari proporsional bog’lanish xosil etuvchi turli hayotiy misollarni tushunishga harakat qilganlar. Shu bilan birgalikda geometrik-shakllarning hajmlari va yuzlari ularning o’lchamlariga bog’liqligini tekshirganlar. K,adimgi Bobilda bu bog’lanishlar dastlab sonlar jadvali shaklida ifodalangan. Masalan, sonning kvadrati, kubi va teskarisini topish jadvallarini tuzganlar. Yunonistonda esa ko’prog’ nazariy matematikaga e’tibor berilib, mantikiy xulosalar orkali mulohazalar yuritishga harakat qilganlar. Ular doirada geometrik bog’lanishlarni tekshirganlar, lekin zarur natijalarga. erisha olmaganlar.

Astronomiyadagi tadqiqotchilar trigonometrik funksiyalar (bog’lanishlar) ning kelib chiqishiga asos soldilar. Masalan, miloddan avvalgi III- II asrlarda berilgan uzunlikdagi yoylarni tortib turuvchi -vatarlar jadvali tuzilgan. Uni yunon olimi K l a v d i y P t o l ye m ye y (100-178 yillar) davom ettirib, sinuslar jadvalini tuzib chiqdi.

Vizantiya imperatori Yustinian 529 yilda matematik tadqiqotlar o’tkazishni man qilgandan so’ng, matematika Sharq mamlakatlarida va Markaziy Osiyoda rivojlana 6oshladi. Hind va arab matematiklari trigonometrik funksiyalarni aylanaga o’tkazilgan kesmalarning uzunliklari shaklida ko’rib chiqadi. Hind matematigi A r i a b x a t a I (476-taxminan 550 yillar) asosiy trigonometrik ayniyatni, ayrim sinus, kosinus va tangens uchun formulalarni keltirib chiqardi. Sharq olimlari esa trigonometrik funksiyalarning qiymatlarini interpolyasiyalash yordamida hisoblash mumkinligini ko’rsatdilar. Masalan, A b u R a y h o n B ye r u n i y o’zining «Qonun Mas’udiy» (1037) asarida sinuslar va tangenslar jadvali, ulardan foydalanish hamda chiziqli va kvadratik interpolyasiyalash qoidalarini bayon etgan. Shuningdek, u sinus va tangens funksiyalar uchun berilgan interpolyasiyalash qoidalari «hamma jadvallar» uchun ham, ya’ni astronomiyadagi funksional bog’lanishlarning hamma jadvallari uchun qo’llanilishi mumkinligini ta’kidlab o’tadi. Bu esa uning funksiyalar umumiy qonuniyatini topishga harakat qilganligidan dalolat beradi. Mazkur asarning oltinchi maqolasida Beruniy Quyosh harakatini vaqtning yoki ekliptika yoyining funksiyasi sifatida matematik nuqtai nazardan qarab o’tadi hamda Quyoshning harakat tezligi apogeyda minimumga, perigeyda maksimumga erishishini aniqlaydi.

Dastlabki trigonometrik miqdorlar Hindistonda paydo bo’lgan. Avvalo sinus, so’ngra «aylantirilgan» sinus miqdorni kiritganlar. IV- V asrlarda «siddxant» (fanlar) deb ataluvchi hind ishlarida hamda 499 yilda Ariabxata 1 tomonidan tuzilgan «Ariabxattiam» asarida sinus, kosinus va «aylantirilgan» sinus (sinus-versus) kabi trigonometrik funksiyalar uchrar edi va ular faqat o’tkir burchaklar uchun qaralgan edi. Hisoblashlarda esa faqat to’g’ri burchakli uchburchaklar qaralgan. Bundan tashqari, ular asosiy ayniyat, ayrim kabi keltirish formulalarini bilganlar.

Keyinroq Al-Xorazmiy zamondoshi Ahmad ibn Abdulla Al-Marvaziy al- Xosob al Xabash (764-874) gnomonika (Quyosh soatlari haqidagi ta’limot bo’lib, kishilarning asbob yordamida vaqtni aniqlaganlar, ya’ni yerga tik koqilgan yogoch (gnomon) bo’lib, vaqt yog’och soyasi uzunligi va yo’nalishi bilan aniqlangan) masalalari bilan shug’ullanib, soya uzunligi u ning gnomon o’zgarmas uzunligi l ga nisbati Quyosh balandligiga (u burchak bilan o’lchaydi) bog’liq ravishda o’zgarishini hisobga olib, u soya uzunligining burchak qiymatlariga mos keluvchi qiymatlarini (ya’ni ) topdi. Gorizontal tomon uchun ham u aylantirilgan soyalar, ya’ni lar qiymatlar jadvalini tuzdi. Shunday qilib, u birinchi bo’lib, tangens va kotangensni to’g’ri burchakli uchburchak tomonlari nisbatlari sifatida kiritdi va sinuslar, tangenslar, kotangenslar jadvalini tuzdi.

XP asrda arab asarlarini lotin tiliga tarjima qilishda kotangens va tangens trigonometrik funksiyalar «to’g’ri soya» va «teskari soya» deb atala boshlagan, «Tangens» va «sekans» atamalari (1583) daniyalik matematik astronom Tomas Fink (1561-1656) tomonidan kiritilgan bo’lsa, «kotangens» va «kosekans» atamalarini Edmond Gyunter (1581-1626) 1620 yildan boshlab qo’llay boshlagan.

O’rta asrlarda birinchi bo’lib funksiya tushunchasini fransuz matematigi N i k o l a O r ye m (Oresm) (1323-1382) kesma uzunligida tasvirladi, ya’ni bog’lanishlar faqat son jihatdan emas, balki sifat jihatdan ham o’zgarishga ega ekanligini ko’rsatdi va u kasr ko’rsatkichli darajali funksiya tushunchasi yaratilishiga katta hissa qo’shdi. U intensivliklarni (sifat jihatdan solishtirish) kesma uzunliklari bilan tasvirladi. Bu kesmalarni biror to’g’ri chiziqqa nisbatan perpendikulyar qilib qo’yib chiqilsa, ularning oxirlari bir chiziqni ifodalaydi. Bu funksional bog’lanishlarning birini grafik tasviri edi. Shuningdek, u grafiklarni sinflarga ajratishga harakat qildi: tekis, tekis-notekis va notekis-notekis.

Oresmning g’oyalarini rivojlantirish uchun miqdorlar orasidagi bog’lanishni faqat grafik ravishda emas, balki formulalar bilan ham ifodalash zarurati paydo bo’ldi, lekin buning uchun kerak bo’lgan harfli algebra to’la-to’kis rivojlangan emas edi. Formulalar bilan ish ko’ruvchi algebra XVI asrda yaratildi.

XVI-XVIII asrlarda astronomiya fani katta yutuqlarga erishdi. Bu esa harakatni o’rganish va uni tadkiq etish usullarini ishlab chiqishni zarurat qilib qo’ydi. Shu asosda matematikaga o’zgaruvchi miqdor tushunchasi kiritildi. Uni birinchi bo’lib fransuz matematigi R. D ye k a r t (1596-1650) kiritdi. U to’g’ri chiziqli koordinatalar usulini ishlab chiqdi, shuningdek o’zgaruvchi -miqdor va funksiya tushunchalarini kiritdi. Bu bilan u geometriya va arifmetika orasidagi uzilishni bartaraf etdi. Shunday qilib, miqdorlar orasidagi bog’lanishlar sonlar orasidagi bog’lanishlar orqali ifodalana boshladi, bu esa yaqqol ifodalanmagan sonli funksiya g’oyasidan iborat edi.

Miqdorlar orasidagi munosabatlarni yozishda Dekart harflardan foydalandi, bunda miqdorlar ustida amallarga harflar ustidagi amallar mos kelar edi. Algebraik shakl almashtirishlar yordamida bog’lanishlarni boshqa bog’lanishlarga o’tkazish imkoniyati yaratildi.

Fanga o’zgaruvchi miqdorlarning kirib kelishi bilan hisoblash matematikasi va harfli algebra yanada rivojlandi. Koordnnatalar yordamida miqdorlar orasidagi mosliklarni grafik ravishda tasvirlash mumkin bo’ldi. Dekart va uning zamondoshlarida funksiya tushunchasi geometriya va mexanika tilida ifodalangan edi.

XVII asr oxirida nemis matematigi G o t f r i d V i l g ye l m