1. Metrik fazolar va ularga misollar. Metrik fazolarda yaqinlashish. Ochiq va yopiq to‘plamlar

2.2. Agar barcha ratsional sonlar to‘plami bo‘lsa, u holda ning har bir nuqtasi uchun limitik nuqta bo‘ladi.
2.5-ta’rif. Agar to‘plamga tegishli nuqta uchun shunday mavjud bo‘lib, bo‘lsa, u holda nuqta to‘plamning yakkalangan (yolg‘iz ) nuqtasi deyiladi.
O‘quvchi mustaqil isbotlashi mumkin bo‘lgan quyidagi tasdiqlar o‘rinli.
to‘plamning istalgan urinish nuqtasi shu to‘plamning limitik nuqtasi, yoki yakkalangan nuqtasi bo‘ladi. Bu yerdan xulosa sifatida kelib chiqadiki, to‘plam uch turdagi nuqtalardan tashkil bo‘lishi mumkin:
1) to‘plamning yakkalangan nuqtalari,
2) ga tegishli bo‘lgan, ning limitik nuqtalari,
3) ga tegishli bo‘lmagan ning limitik nuqtalari.
Bu xulosalardan kelib chiqadiki, dan uning yopig‘i ga o‘tish, ga tegishli bo‘lmagan limitik nuqtalarni ga qo‘shib olish bilan amalga oshiriladi.


2.1. Metrik fazolarda yaqinlashish
2.6-ta’rif. metrik fazoda nuqtalar ketma-ketligi va nuqta berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy uchun shunday nomer mavjud bo‘lib, barcha lar uchun nuqta ning atrofiga tegishli bo‘lsa, u holda bu ketma-ketlik nuqtaga yaqinlashadi deyiladi. Agar ketma-ketlik nuqtaga yaqinlashsa, u holda nuqta ketma-ketlikning limiti deyiladi.`
Bu ta’rifni quyidagicha ham ifodalash mumkin:
Agar

munosabat bajarilsa, ketma - ketlik nuqtaga yaqinlashadi deyiladi.
Yaqinlashuvchi ketma-ketlik ta’rifidan quyidagi ikki xulosa bevosita kelib chiqadi:
1) hech qanday ketma-ketlik ikkita har xil limitga ega emas;
2) agar ketma-ketlik nuqtaga yaqinlashsa, u holda uning ixtiyoriy qismiy ketma-ketligi ham nuqtaga yaqinlashadi.
2.2-teorema. Biror nuqta to‘plamning urinish nuqtasi bo‘lishi uchun da ga yaqinlashuvchi ketma - ketlikning mavjud bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. nuqta to‘plamning urinish nuqtasi bo‘lsin. U holda ixtiyoriy natural son uchun atrofda kamida bitta element mavjud. Bu nuqtalardan tuzilgan ketma-ketlik nuqtaga yaqinlashadi.
Yetarliligi. Agar ketma-ketlik nuqtaga yaqinlashsa, ixtiyoriy uchun shunday nomer mavjud bo‘lib, bo‘lganda bo‘ladi, ya’ni . Demak, nuqta ning urinish nuqtasi bo‘ladi. ∆
Agar - to‘plamning limitik nuqtasi bo‘lsa, u holda nuqtalarni har xil qilib tanlash mumkin, chunki - cheksiz to‘plam. Shunday qilib, nuqta to‘plam uchun limitik nuqta bo‘lishi uchun da ga yaqinlashuvchi har xil nuqtalardan tashkil bo‘lgan ketma-ketlikning mavjud bo‘lishi zarur va yetarli.
metrik fazoni metrik fazoga akslantiruvchi akslantirish uzluksizligi tushunchasini quyidagicha ham ta’riflash mumkin. Bizga akslantirish va nuqta berilgan bo‘lsin. Agar nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun unga mos keluvchi ketma-ketlik, nuqtaga yaqinlashsa, akslantirish nuqtada uzluksiz deyiladi. 1-§ da keltirilgan uzluksizlik ta’rifi bilan bu ta’rifning teng kuchli ekanligini isbotlashni o‘quvchiga qoldiramiz.