1. Metrik fazolar va ularga misollar. Metrik fazolarda yaqinlashish. Ochiq va yopiq to‘plamlar

2.3. Ochiq va yopiq to‘plamlar
2.8-ta’rif. Agar metrik fazodagi to‘plam uchun tenglik bajarilsa, yopiq to‘plam deb ataladi. Boshqacha aytganda, agar to‘plam o‘zining barcha limitik nuqtalarini saqlasa, u yopiq to‘plam deb ataladi.
Ta’kidlash lozimki, 2.1-teoremaga ko‘ra to‘plamning yopig‘i - yopiq to‘plamdir, hamda to‘plam ni o‘zida saqlovchi minimal yopiq to‘plamdir.
Misollar. 2.12. Har qanday metrik fazoda yopiq shar yopiq to‘plam bo‘ladi. Xususan, fazoda ixtiyoriy uchun shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plami yopiq to‘plam bo‘ladi.
2.13. fazoda (ochiq shar) shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plami yopiq emas, uning yopig‘i shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plamidan iborat.
2.14. Har qanday metrik fazoda va to‘plamlar yopiq to‘plamlardir.
2.15. Har qanday metrik fazoda chekli to‘plam yopiqdir.
2.3-teorema. Ixtiyoriy sondagi yopiq to‘plamlar kesishmasi va chekli sondagi yopiq to‘plamlar yig‘indisi yopiqdir.
Isbot. Ixtiyoriy sondagi yopiq to‘plamlarning

kesishmasini qaraymiz. to‘plamning ixtiyoriy limitik nuqtasini olaylik. U holda ning ixtiyoriy atrofida ning cheksizta elementi mavjud. Shunday ekan, da har bir ning cheksiz ko‘p elementi mavjud. Bu ko‘rsatadiki, nuqta har bir uchun limitik nuqta bo‘ladi va lar yopiq bo‘lgani uchun har bir da . Bundan

ekanligi kelib chiqadi, ya’ni F yopiq to‘plam.
Endi - cheklita yopiq to‘plamlar yig‘indisi, ya’ni

va bo‘lsin. U holda , ya’ni nuqta uchun limitik nuqta bo‘la olmaydi. Shuning uchun ning atroflari mavjudki, da ning ko‘pi bilan cheklita elementi bo‘lishi mumkin. Agar

desak, atrofda har bir to‘plam elementlari soni cheklitadan ko‘p emas. U holda atrofda to‘plam elementlarining soni ham cheklitadan ko‘p emas. Shuning uchun nuqta uchun limitik nuqta bo‘la olmaydi. Ya’ni ning barcha limitik nuqtalari o‘zida saqlanadi. Demak, – yopiq to‘plam. ∆
2.9-ta’rif. Agar nuqta uchun shunday mavjud bo‘lib, atrof da to‘liq saqlansa ( ), u holda nuqta to‘plamning ichki nuqtasi deyiladi. Faqat ichki nuqtalardan tashkil topgan to‘plam ochiq to‘plam deyiladi.