1. Metrik fazolar va ularga misollar. Metrik fazolarda yaqinlashish. Ochiq va yopiq to‘plamlar

2-§. Metrik fazolarda yaqinlashish. Ochiq va yopiq to‘plamlar

Biz bu paragrafda metrik fazoning asosiy tushunchalarini keltiramiz va ochiq va yopiq to‘plamlarning xossalarini o‘rganamiz.

2.1-ta’rif. metrik fazoda va son berilgan bo‘lsin. shartni qanoatlantiruvchi barcha elementlar to‘plami markazi nuqtada, radiusi bo‘lgan ochiq shar deb ataladi va u orqali belgilanadi. Berilgan va da shartni qanoatlantiruvchi barcha elementlar to‘plami orqali belgilanadi va u markazi nuqtada, radiusi bo‘lgan yopiq shar deb ataladi.
Metrik fazolar nazariyasida markazi nuqtada va radiusi bo‘lgan ochiq shar nuqtaning - atrofi deyiladi va u ko‘rinishda belgilanadi.
Misollar. 2.1. Shunday metrik fazoga va undagi ikkita , sharlarga misol keltiringki, va bo‘lsin.
Yechish. bo‘lsin. Agar deb markazi 1 nuqtada va radiusi 5 ga teng sharni, hamda deb markazi 3 nuqtada va radiusi 4 ga teng bo‘lgan ochiq sharlarni olsak, u holda , ammo .
2.2-ta’rif. Agar metrik fazoning qism to‘plami uchun uni o‘zida saqlovchi shar mavjud bo‘lsa, chegaralangan to‘plam deb ataladi.
2.3-ta’rif. metrik fazo, uning qism to‘plami va nuqtasi berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy uchun munosabat bajarilsa, nuqta ning urinish nuqtasi deyiladi. to‘plamning barcha urinish nuqtalaridan iborat to‘plam ning yopig‘i deyiladi.
Shunday qilib, biz metrik fazo qism to‘plamlari uchun ulardan ularning yopig‘iga o‘tish amalini aniqladik. To‘plam yopig‘i amali quyidagi xossalarga ega.
2.1-teorema. Quyidagi tasdiqlar o‘rinli:
1) ;
2) ;
3) agar bo‘lsa, u holda ;
4) .
Isbot. to‘plamning har bir nuqtasi uning uchun urinish nuqtasi bo‘lishi bevosita ta’rifdan kelib chiqadi, shuning uchun .
Endi ikkinchi tasdiq isbotiga o‘tamiz. Birinchi tasdiqqa ko‘ra . Endi ixtiyoriy nuqta bo‘lsin. U holda ixtiyoriy uchun , ya’ni shunday mavjudki, . Shunga o‘xshash, . Ya’ni shunday mavjud bo‘lib, bo‘ladi. U holda

ya’ni . Bundan ekanligi kelib chiqadi. Shunday ekan, . Demak, .
Uchinchi tasdiqning isboti. to‘plamning ixtiyoriy nuqtasini olamiz. U holda ixtiyoriy uchun . Bundan ekanligi kelib chiqadi. Demak, nuqta to‘plamning urinish nuqtasi, ya’ni ekan. Bundan .
Nihoyat, to‘rtinchi tasdiq isbotiga o‘tamiz. Agar bo‘lsa, u holda ixtiyoriy uchun bo‘ladi. Bundan, yoki tengsizliklardan kamida bittasi bajariladi. U holda yoki , bundan ekan. Ya’ni . Ikkinchi tomondan, va bo‘lgani uchun, 3-tasdiqqa ko‘ra va . Shunday ekan, . Demak, . ∆
2.4-ta’rif. - metrik fazo va - uning bo‘shmas qism to‘plami bo‘lsin. Agar ning ixtiyoriy atrofi ning cheksiz ko‘p elementlarini saqlasa, u holda nuqta to‘plamning limitik nuqtasi deyiladi.
To‘plamning limitik nuqtasi shu to‘plamga tegishli bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin.