1. Metrik fazolar va ularga misollar. Metrik fazolarda yaqinlashish. Ochiq va yopiq to‘plamlar

2.2. Zich to‘plamlar
2.7-ta’rif. metrik fazoning ikkita va qism to‘plamlari berilgan bo‘lsin. Agar bo‘lsa, u holda to‘plam to‘plamda zich deyiladi. Xususan, agar bo‘lsa, to‘plam hamma yerda zich ( da zich) deyiladi. Agar to‘plam birorta ham sharda zich bo‘lmasa (ya’ni har bir sharda to‘plam bilan umumiy elementga ega bo‘lmagan shar saqlansa), u holda hech yerda zichmas to‘plam deyiladi.
Misollar. 2.3. - ratsional sonlar to‘plami da zich to‘plamdir.
2.4. Natural sonlar to‘plami haqiqiy sonlar metrik fazosi ning hech yerida zichmas to‘plamdir.
Endi hamma yerda zich sanoqli qism to‘plamga ega bo‘lgan metrik fazolarga misollar qaraymiz. Odatda hamma yerda zich sanoqli qism to‘plamga ega bo‘lgan metrik fazolar separabel metrik fazolar deb ataladi.
2.5. 1.1-misolda keltirilgan "diskret" fazo, hamma yerda zich sanoqli to‘plamni fazoning elementlari sanoqli bo‘lgan holda va faqat shu holda saqlaydi. Chunki, bu fazoda ixtiyoriy uchun tenglik o‘rinli. Shuning uchun "diskret" fazo separabel bo‘lishi uchun uning sanoqli bo‘lishi zarur va yetarli.
2.6. Haqiqiy sonlar to‘plami separabel metrik fazodir, chunki ratsional sonlar to‘plami sanoqli va u ning hamma yerida zich.
2.7. va metrik fazolarning hammasida ratsional koordinatali nuqtalar to‘plami sanoqli va hamma yerda zichdir. Shuning uchun va lar separabel metrik fazolardir.
2.8. va metrik fazolarda ratsional koeffitsiyentli ko‘phadlar to‘plami sanoqli va hamma yerda zichdir. Shunday ekan, ular separabel metrik fazolardir.
2.9. fazoda hadlari ratsional sonlar bo‘lib, ulardan cheklitasi noldan farqli bo‘lgan ketma-ketliklar to‘plami sanoqli bo‘ladi va u ning hamma yerida zich. Demak, separabel metrik fazo.
2.10. Yuqoridagi metrik fazolardan farqli o‘laroq separabel bo‘lmagan metrik fazoga misol bo‘ladi. Buni isbotlash uchun hadlari va lardan iborat barcha mumkin bo‘lgan ketma-ketliklar to‘plamini bilan belgilaymiz. va ikkita ixtiyoriy ketma-ketliklar kamida biror hadi bilan farq qilgani uchun . Ma’lumki, - sanoqsiz (kontinuum quvvatli) to‘plam. ning elementlarini markaz qilib radiusi ga teng ochiq sharlarni olamiz. Bu sharlar o‘zaro kesishmaydi. Agar biror to‘plam hamma yerda zich bo‘lsa, har bir sharda ning kamida bitta elementi yotadi. Sharlar soni dagi elementlar soniga teng. dagi elementlar soni esa sharlar sonidan, shuning uchun, dagi elementlar sonidan kam emas. Shunday ekan, sanoqsiz to‘plam. Demak, ning hamma yerida zich sanoqli to‘plam mavjud emas ekan.
2.11. va fazolarda hadlari ratsional sonlar bo‘lib, ulardan cheklitasi noldan farqli bo‘lgan ketma-ketliklar to‘plami sanoqli bo‘ladi va u va fazolarning hamma yerida zich. Demak, va separabel metrik fazolar bo‘ladi.