1. Текисликда тўғри чизиқ тенгламалари Текисликда тўғри чизиқлар орасидаги муносабатлар Иккинчи тартибли эгри чизиқлар

Гипербола. Гипербола деб, текисликдаги шундай нуқталар тўпламига айтиладики, бу нуқталардан шу текисликдаги берилган икки нуқтагача бўлган масофалар айирмасининг модули ўзгармас бўлиб ва у, бу икки нуқта орасидаги масофадан кичикдир. Берилган нуқталар гиперболанинг фокуслари, улар орасидаги масофа эса гиперболанинг фокал масофаси дейилади. Гиперболанинг тенгламасини келтириб чиқарамиз. Бунинг учун координаталар системасини шундай жойлаштирамизки, бунда абсциссалар ўқи эллипснинг и фокуслари орқали ўтсин (расм 2.12). Фокал масофани, яъни кесма узунлигини билан белгилаймиз. Ординаталар ўқини кесманинг ўртасидан унга перпендикуляр қилиб ўтказамиз. Гиперболанинг барча нуқталари учун, и кесмалар айирмасининг модулиини билан белгилаймиз. У ҳолда, гипербола нуқталарининг координаталари ушбу тенгламани қаноатлантиради
, ёки
,
бунда «мусбат» ишора бўлади, агар тенгламанинг чап томони мусбат бўлса, тескари ҳолда «манфий» бўлади. Радикаллардан бирини тенгликнинг бир томонида қолдириб, тенгламанинг иккала томонини квадратга кўтарамиз:
.
Ихчамлаштиришлардан сўнг:
.
Яна тенгламанинг иккала томонини квадратга кўтариб ўхшаш ҳадларни ихчамлаймиз:
.
Гипербола таърифидан ( - (2.10) расмдаги учбурчакда, ва томонлари узунликларининг айирмаси абсолют қиймати бўйича томон узунлигидан кичик), шунинг учун - мусбат сон. Бу мусбат сонни билан белгилаймиз, яъни . Охирги тенгламани га бўлсак, ушбу тенгламани ҳосил қиламиз:
(24)
Бу тенглама гиперболанинг каноник тенгламаси дейилади.
Мисол 11. Фокал масофаси 20 га тенг бўлиб, нуқтадан ўтувчи гиперболанинг каноник тенгламасини тузинг.
Ечиш. Шартга кўра фокал масофа , бундан . Гиперболанинг каноник тенгламасини ёзамиз:
.
ва топиш учун иккинчи тенгламани ушбу муносабатдан аниқлаймиз
.
Тенгламалар системасини

ва га нисбатан ечиб (кўриниб турибдики, фақат мусбат ечимлар мос келади), , эканлигини топамиз. Демак, қидирилаётган гипербола тенгламаси қуйидагича бўлар экан
.
Мисол 12. Ушбу тенглама гиперболанинг тенгламаси эканлигини исботланг. Фокусларининг координаталарини топинг.
Ечиш. Тенгламанинг иккала томонини 903 га бўлиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:
.
Бу гипербола тенгламаси бўлиб, бунда , . муносабатдан ва с=8 топамиз. Демак, гиперболанинг фокуслари ва нуқталарда экан.
Гипербола графиги шаклини текширамиз. (24) тенгламадан кўриниб турибдики, гипербола графиги , ўқларига ва координаталар бошига нисбатан симметрикдир. Ҳақиқатан, агар нуқта гипербола га тегишли бўлса, у ҳолда , , нуқталар ҳам гипербола га тегишли бўлади. Гипербола абсциссалар ўқини , нуқталарда кесиб ўтади. нуқталар гиперболанинг учлари дейилади. кесма, гиперболанинг мавҳум ўқи дейилади. кесма, гиперболанинг мавҳум ярим ўқи дейилади. кесма, гиперболанинг ҳақиқий ўқи дейилади. кесма, гиперболанинг ҳақиқий ярим ўқи дейилади. Унинг узунлиги тенг. Гипербола бир-бирига боғлиқ бўлмаган иккита қисмдан иборат бўлиб, булар унинг шохлари дейилади (расм 2.12).

Ушбу тўғри чизиқлар

ва , (25)
гиперболанинг асимптоталари дейилади. Бунда абсолют қиймати ўсганда, гипербола шохлари бу тўғри чизиқларга яқинлашиб боради (расм 2.12).








0

Расм 2.12

Катта ўқнинг узунлиги га, кичик ўқнинг узунлиги га тенг. ва сонлар эллипснинг ярим ўқлари дейилади. Ушбу нисбат

эллипснинг эксцентриситети дейилади. Эксцентриситет эллипс графиги шаклини характерлайди. Кўриниб турибдики, , айлана учун эса .
фокус масофанинг ҳақиқий ўқга нисбати гиперболанинг эксцентриситети дейилади ва ҳарфи билан белгиланади. Демак

Бунда , яъни , у ҳолда , яъни гиперболанинг эксцентриситети бирдан катта.
Агар бўлса, тенг томонли гипербола дейилади. Унинг тенгламаси
.
Тенг томонли гипербола асимптоталари ўзаро перпендикуляр тўғри чизиқлардан иборат ва .