1. Текисликда тўғри чизиқ тенгламалари Текисликда тўғри чизиқлар орасидаги муносабатлар Иккинчи тартибли эгри чизиқлар

Нуқтадан тўғри чизиқгача бўлган масофа. Айтайлик, нуқта ва тўғри чизиқ берилган бўлсин. нуқтадан тўғри чизиққача бўлган масофа деганда нуқтадан тўғри чизиқга туширилган перпендикуляр узунлиги ни тушунамиз (расм 2.8).










0

Расм 2.8
Изланган масофани топиш учун:

а) нуқтадан ўтиб, берилган тўғри чизиққа перпендикуляр тўғри чизиқ тенгламасини тузамиз;
б) тўғри чизиқлар тенгламалари системасини ечиб, тўғри чизиқларни кесишган нуқтасини топамиз;
в) ва нуқталар орасидаги масофани топамиз, яъни . Натижада ушбу формулани ҳосил қиламиз
(17)
Мисол 7. Икки параллел тўғри чизиқ орасидаги масофани топинг
ва .
Ечиш. Тўғри чизиқларнинг бирортасида, масалан, да ихтиёрий нуқтани оламиз. У ҳолда изланган масофа, нуқтадан тўғри чизиққача бўлган масофа бўлади:
=6.
3. Иккинчи тартибли эгри чизиқлар.
Икки номаълумли иккинчи тартибли тенгламаларни кўриб чиқамиз. Бундай тенгламалар билан аниқланадиган чизиқлар, иккинчи тартибли чизиқлар дейилади. Икки номаълумли иккинча даражали тенгламанинг умумий кўриниши:
, (18)
бунда , ва бир вақтда нолга тенг эмас, яъни .


Айлана, эллипс, гипербола ва парабола тенгламалари.
Айлана. Иккинчи тартибли чизиқларнинг энг соддаси айланадир. Биламизки, текисликда ушбу шартни қаноатлантирувчи
, (19)
барча нуқталар тўпламига маркази нуқтада, радиуси га тенг бўлган айлана дейилади (расм 2.9).








0

Расм.2.9
Фараз қиламиз, нуқта декарт координаталар системасида координатага эга бўлсин. У ҳолда (19) шартдан ушбу тенгламани ҳосил қиламиз

. (20)
Бу икки номаълумли, иккинчи тартибли тенглама, маркази нуқтада, радиуси га тенг бўлган айлана тенгламасидир.
Мисол 8. Маркази нуқтада, радиуси га тенг бўлган айлана тенгламасини тузинг.
Ечиш. нуқтанинг координаталари ва радиуснинг қийматини (20) формулага қўйиб қуйидагини ҳосил қиламиз , ёки .
Мисол 9. Қуйидаги тенгламанинг, айлана тенгламаси эканлигини исботланг. Унинг маркази ва радиусини топинг.
Ечиш. Тенгламанинг чап томонида алмаштириш оламиз: , ёки .
Бу тенглама, маркази нуқтада, радиуси 5 га тенг бўлган айлана тенгламасидир.
Мисол 1. ва нуқталардан бир хил масофада ётган нуқталар тўпламининг тенгламасини тузинг.
Ечиш. Икки ва нуқталар орасидаги масофа ушбу формуладан топилади:
.
Агар –нуқта изланаётган чизиқнинг ихтиёрий нуқтаси бўлса, у ҳолда шартга кўра ёки юқоридаги формулага асосан,
.
Тенгламанинг иккала қисмини квадратга кўтариб, тенгламани соддалаштириб ёки тенгламани ҳосил қиламиз.
Бу тенглама кесманинг ўртасидан чиқарилган перпендикуляр тўғри чизиқнинг тенгламасини ифодалайди.


Эллипс. Эллипс деб, текисликдаги шундай нуқталар тўпламига айтиладики, бу нуқталардан шу текисликдаги берилган икки нуқтагача бўлган масофалар йиғиндиси ўзгармас бўлиб ва у, бу икки нуқта орасидаги масофадан каттадир. Берилган нуқталар эллипснинг фокуслари, улар орасидаги масофа эса эллипснинг фокал масофаси дейилади. Эллипснинг тенгламасини келтириб чиқарамиз. Бунинг учун координаталар системасини шундай жойлаштирамизки, бунда абсциссалар ўқи эллипснинг и фокуслари орқали ўтсин (расм 2.10).







0
Расм 2.10

Фокал масофани, яъни кесма узунлигини билан белгилаймиз. Ординаталар ўқини кесманинг ўртасидан унга перпендикуляр қилиб ўтказамиз. Эллипснинг барча нуқталари учун, и кесмалар йиғиндисини билан белгилаймиз. У ҳолда, эллипс нуқталарининг координаталари ушбу тенгламани қаноатлантиради

. (21)
Радикаллардан бирини тенгликнинг бир томонида қолдириб, тенгламанинг иккала томонини квадратга кўтарамиз:
.
Соддалаштиришлардан сўнг:
.
Яна тенгламанинг иккала томонини квадратга кўтариб ўхшаш ҳадларни ихчамлаймиз:
.
Эллипс таърифидан , шунинг учун - мусбат сон. Бу мусбат сонни билан белгилаймиз, яъни . Охирги тенгламани га бўлсак, ушбу тенгламани ҳосил қиламиз:
(22)
Бу тенглама эллипснинг каноник тенгламаси дейилади.
Мисол 10. Фокал масофаси 4 га тенг бўлиб, нуқтадан ўтувчи эллипснинг каноник тенгламасини тузинг.
Ечиш. Шартга кўра нуқта эллипсга тегишли, бундан, , . Энди параметрни аниқлаймиз, бунда с – эллипс фокал масофасининг ярми. Шартга кўра . У ҳолда . Демак, қидирилаётган эллипс тенгламаси қуйидагича бўлар экан
.
Эллипс графиги шаклини текширамиз. (22) тенгламадан кўриниб турибдики, эллипс графиги , ўқларига ва координаталар бошига нисбатан симметрикдир (расм 2.11). Ҳақиқатан, агар нуқта эллипсга тегишли бўлса, у ҳолда , , нуқталар ҳам эллипсга тегишли бўлади. Эллипс координаталар ўқини , ( бу ўқи билан кесишиш нуқталари ), ва (бу ўқи билан кесишиш нуқталари) нуқталарда кесиб ўтади. , нуқталар эллипснинг учлари дейилади. кесма эллипснинг катта ўқи, кесма эллипснинг кичик ўқи дейилади. Эллипснинг ва фокуслари катта ўқда ётади. Катта ўқнинг узунлиги га, кичик ўқнинг узунлиги га тенг. ва сонлар эллипснинг ярим ўқлари дейилади. Ушбу нисбат
(23)
эллипснинг эксцентриситети дейилади. Эксцентриситет эллипс графиги шаклини характерлайди. Кўриниб турибдики, , айлана учун эса .

Расм 2.11