10-маъруза Ечиладиган масалалар турлари

Математик моделнинг қуйидаги турлари мавжуд.
1. Тўғри масала: Берилган локал қонунларга асосан (физик, химик, биологик, экономик ва бошқалар) ўрганилаётган системани ичидан умумий жиҳатдан система ўзини қандай тушунишига жавоб бериши керак.
Бу ҳолда ўрганилаётган системани ҳамма параметрлари маълум ва ҳар хил шартларни ҳисобга олишда (ўрганишда) моделнинг ҳаракати ўрганилади.
2. Тескари масала: Берилган маълумотлар ва моделлаштиришни натижаларини модел параметрларини аниқлаш орқали мослаштирилади. Кўпинча ўрганилаётган объектдаги ҳақиқий жараёнлар номаълум бўлсада, лекин деярли ўхшашлари кузатилади. Кузатишларнинг натижалари орқали объект харакатини қандай жараёнлар орқали бошқаришни ва моделни аниқлаштирадиган параметрларни аниқлаштиришга ҳаракат қилади. Тескари масалада система ҳаракати орқали параметрлар қийматини аниқлаш талаб қилинади.
3. Бошқариш системаларини лойиҳалаштириш. Бу моделлаштиришнинг бутунлай асосий соҳаси бўлиб, автоматизациялашган бошқариш системалари билан иш кўради. Математик моделни қуриш бир нечта босқичдан иборат.
1. Қонунларни тартиблаш бўлиб, у моделнинг асосий объектларини боғлайди.
2. Математик масалаларни ўрганиш.
3. Текшириш. Моделни амалиётда қўлланилишини ўрганиш.
4. Модел анализи ва унинг модификацияси. Математик моделни ўрганиш босқичлари. Сифатли моделни тузиш. Бу босқичда системада амал қиладиган қонунлар ҳаракатини ва алоқаларни аниқлаш.
Бу қонунлар физик, химик, биологик, экономик ва ҳоказо бўлиши мумкин. Бу системада асосий аниқловчи кўрсаткичларини ажратиш мумкин. Бу моделдаги ҳамма ҳодисаларни аниқлашни талаб қилиш мумкин эмас. Моделлаштириш масаласи-харакатнинг асосий мезонларини унинг ўзига хос аниқликларини келтириб чиқаришдир. Шунинг учун бу моделни қуришда фақат кучли эффектларни ҳисобга олиш керак. Автомобиллар ҳаракатини кузатишда релятивистик ва квант эффектларни ҳисобга олиш нотўғри: бу эффектлар сезиларли даражада бўлмайди. Бу ҳолат модел тузишда ҳар доим ҳам содир бўлавермайди.
Математик моделни ташкил қилиш. Бу босқичда шу системада нима содир бўлиши математик тартиблаш орқали ифодаланилади. Ўрганилаётган жараённинг математик ифодаси тенгламалар системаси, дифференционал тенгламалар системаси, дифференционал тенгламалар ва қонунлар тўплами бўлиши мумкин. Агар модел дифференциал тенгламалар орқали ифодаланса бу модел дифференциал дейилади. Агар бу модел баъзи бир тенгламалар орқали ифодаланса, бу модел детерминистик бўлади. Агар модел баъзи бир эҳтимоллик қонуниятлар билан ифодаланса, унда модел ҳодисаларни моделаштириш олдидан илм фан ва техникада ғояларни синаш учун гипотезаларни қайта ишлаш, экспериментал материалларни қабул қилишда фойдаланилган.
20 асрнинг ўрталаридан бошлаб, “аралаш типдаги тенгламалар” деб аталувчи ва газ динамикаси, суюқликлар динамикаси, математик биология ва бошқа фан тармоқларида кўплаб татбиқларга эга бўлган дифференциал тенгламалар ўрганилмоқда. Аралаш типдаги тенгламалар назариясида дастлаб классик чегаравий масалалар, яъни соҳа чегарасининг тўлиқ ёки баъзи қисмларида функциянинг қиймати ёки ҳосиласининг қиймати ёки уларнинг комбинацияси берилган масалалар тадқиқ қилинган. Кейинчалик эса классик масалалар билан биргаликда нолокал масалалар ҳам ўрганила бошланди. Бундай масалаларда нолокал шарт изланаётган функциянинг ёки унинг ҳосиласининг тенглама қаралаётган соҳа чегарасининг турли нуқталаридаги қийматлари орасидаги боғланишни ёки соҳанинг ички ва чегарасида ётувчи нуқталаридаги қийматларини боғловчи муносабатни ифодалайди. Нолокал масалаларни ўрганишнинг муҳимлиги, шундан иборатки, улардан хусусий ҳолда коррект қўйилган турли классик чегаравий масалалар келиб чиқади. Қолаверса, турли физик, химик, биологик, экологик жараёнларни математик моделлаштиришда нолокал шартлар келиб чиқади. Масалан, 1896 йилда В.А.Стеклов чекли ўлчамли жисмларнинг совуш жараёнини математик моделлаштиришда иссиқлик тарқалиш тенгламаси учун нолокал масалалар юзага келиб, бунда нолокал шартлар изланаётган ечимнинг соҳа чегарасининг турли нуқталаридаги қийматлари орасидаги чизиқли комбинацияларни ифодалашини кўрсатиб берган.
Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар учун нолокал масалаларнинг яна бир муҳим синфи интеграл шартли масалалардир. Бундай масалалар, масалан, турбулент плазмада зарраларнинг диффузиясини, юпқа қиздирилган стерженда иссиқлик тарқалиш жараёнини, капилляр – ғовак муҳитда намлик ўтказувчанлик жараёнини ва математик физиканинг бир қанча тескари масалаларини ўрганишда келиб чиқади.
Хусусиятларига кўра тескари масалаларнинг тўртта асосий синфини ажратиш мумкин:
1. Коэффициентли масалалар — модель коэффициентларини ташкил этадиган функциялар ва параметрларни топишдан иборат.
2. Эволюцион (ретроспектив) масалалар — моделнинг маълум бўлган холати тарихини тиклашдан иборат.
3. Чегаравий масалалар — моделнинг чегаравий шартларига кирувчи параметрлар ва функцияларни топишдан иборат.
4. Геометрик тескари масалалар — моделни амалга ошириш соҳасида жойлашган тўпламнинг геометрик хусусиятларини қайта тиклашдан иборат.