11-mavzu: Elektrostatik maydon va uning xususiyatlari

Kuchlanganlik chiziqlari. Agar qandaydir vektor kattalikning qiymati fazoning barcha nuqtalarida yoki fazoning sohasida aniqlangan bo‘lsa, vektor maydon haqida gapiriladi. Vektor maydonning ko‘rgazmali tasvirini hosil qilish uchun chiziqlar shunday o‘tkaziladiki, har bir nuqtadagi vektorning yo‘nalishi shu chiziqlarga o‘rinli bo‘lishi kerak. (rasm 4.)
Vektor maydon chiziqlari-ni o‘tkazish shunday shart bilan amalga oshiriladi, uning zichligi har bir nuqtadagi vektor kattalik-ning absolyut qiymatiga teng bo‘ladi. Bunga ko‘ra vektor maydon kichik chiziqlar manzarasiga qarab nafaqat uning yo‘nalishi haqida, balki uning kattaligi haqida fikr yuritildi: chiziqlar zich bo‘lgan joyda vektorning kattaligi ko‘p, va aksincha. Kuchlanganlik vektori chiziqlari yana bir muhim xossaga ega bo‘ladi: agar kuch chiziqlarini zichlik sharti bo‘yicha o‘tkazilsa, ular zaryadlangan jismlardan tashqari uzluksiz bo‘lib, zaryad bor joyda esa uziladi, musbat zaryad bor joyda -”boshlanadi”, manfiy zaryadlarda – “tugaydi”. Bu esa Gauss tenglamasini natijasi, bu haqda keyin qaraymiz. 2-rasmda musbat va manfiy zaryad (a, b), bir jinsli (d) va yupqa zaryadlangan (e) diskning kuchlanganlik chiziqlari tutash chiziqlar bilan belgilangan.


3. Vakuumdagi elektr maydon uchun Gaussning elektrostatik teoremasi va uning sodda elektr maydonlarini hisoblashda qo‘llanilishi


, , ..., elektr zaryadlar maydonining shu zaryadlarni o‘rab turgan yopiq sirt orqali kuchlanganlik oqimini aniqlaylik (152-rasm). Bunda, agar oqim sirtning ichiga yo‘nalgan bo‘lsa, uni manfiy deb va aksincha yo‘nalgan bo‘lsa, musbat deb olamiz.


Dastlab radiusli sferik sirt uning markazida turgan bitta zaryadni o‘rab turgan holni ko‘raylik (153-rasm). (6) formulaga muvofiq butun sferada maydonning kuchlanganligi bir xil bo‘ladi:
.
Kuch chiziqlari radiuslar bo‘ylab, ya’ni sfera sirtiga perpendikulyar yo‘nalgan. Bu kuchlanganlik oqimi ni hisoblashda (7) formulani qo‘llash imkonini beradi:
,
bu erda – sferik sirtning yuzi.
Endi sferani ixtiyoriy yopiq sirt bilan o‘raymiz. 153-rasmdan ko‘rinib turganidek, sferaii yorib kirayotgan har bir kuch chizig‘i bu sirtni ham yorib kiradi. Binobarin, (10) formula faqat sfera uchungina emas, balki har qanday yopiq sirt uchun o‘rinli ekan.
Endi zaryadni o‘rab turgan ixtiyoriy sirg bo‘lgap umumiy holga qaytaylik (152-rasmga qarang). Bu sirt orqali kuchlanganlik oqimi zaryadlardan har birining hosil qilgan oqimlari yig‘indisiga tekg bo‘lishi ravshan:

yoki, nihoyat,
. (11)
SHunday qilib,
elektr zaryadlarni o‘rab turgan ixtiyoriy yopiq sirtni yorib o‘tuvchi kuchlanganlik oqimi o‘rab turilgan zaryadlarning algebraik yig‘indisiga proporsional bo‘ladi.
Bu qoida Ostrogradskiy-Gauss teoremasi deyiladi*.


Ostrogradskiy-Gauss teoremasining katta amaliy ahamiyati bor: uning yordamida zaryadlangan turli shakldagi jismlar hosil qilgan maydonlarning kuchlaiganligini aniqlash juda oson. Bir necha misolki ko‘rib chiqamiz.