13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

orttirmalar formulasi

Mulohazalarimiz sodda bo‘lishi uchun bu bandda ikki o‘zgaruvchili funksiya haqida so‘z yuritamiz.

Aytaylik, funksiya yopiq sohada uzluksiz va sohaning ichki nuqtalarida uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin.
D soha ichida shunday va nuqtalarni olaylikki, kesma to‘lig‘icha soha ichida yotsin.
U vaqtda,
(13.10.1)
formula o‘rinlidir, bu yerda qandaydir son.
Buni isbotlash maqsadida funksiyani kesma nuqtalarida qaraylik, ya’ni unda

deylik, bu yerda parametr. Bu holda, t ning murakkab

funksiyasi kesmada uzluksiz va bu oraliqning ichki nuqtalarida, (13.9.4) formula asosida,
(13.10.2)
dan iborat hosilaga egadir. Endi, funksiyaga oraliqda chekli orttirmalar (Lagranj) formulasini qo‘llaymiz:
. (13.10.3)
funksiyaning kiritilishiga muvofiq

ekanligini hisobga olib va (13.10.2) da desak, (13.10.3) dan (13.10.1) formula kelib chiqadi.
Olingan (13.10.1) formulani umumlashtirib, biror n o‘lchovli yopiq sohada uzluksiz va D ochiq sohada barcha argumentlari bo‘yicha uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lgan n o‘zgaruvchili funksiya uchun yozamiz.
(13.10.4)
bu yerda
.
Olingan (13.10.4) chekli orttirmalar formulasi deb yuritiladi. Uning tatbiqlaridan biri sifatida quyidagi tasdiqni keltiramiz.
Agar yopiq va bog‘liq sohada uzluksiz bo‘lgan funksiya soha ichida aynan 0 ga teng xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, bu funksiya butun sohada o‘zgarmas bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, va nuqtalar sohaga tegishli bo‘lib, nuqtani tayinlagan holda (qo‘zg‘almas deb faraz qilib), M nuqtani kesma sohada to‘lig‘icha yotadigan qilib qo‘zg‘atilsa, (13.10.4) chekli orttirmalar formulasiga ko‘ra, barcha xususiy hosilalar aynan 0 ga teng bo‘lganligi sababli,

yoki

ni olamiz. Demak, bo‘lganda qiymat o‘zgarmasga tengdir, ya’ni funksiyaning o‘zgarmas ekanligi kelib chiqadi.