13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

Eslatma. (13.14.4) formula m=0 bo‘lganda ham o‘rinli bo‘lib, bu holda (13.10.4) chekli orttirmalar formulasiga ega bo‘lamiz.

13.15. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari

Faraz qilaylik, funksiya n o‘lchovli D sohada aniqlangan bo‘lib, M₀ bu sohaning ichki nuqtasi bo‘lgan holda uning shunday atrofi mavjud bo‘lsinki, unga tegishli barcha nuqtalar uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, nuqta funksiyaning maksimum (minimum) nuqtasi, esa uning maksimumi (minimumi) deyiladi.

Agar nuqta funksiyaning maksimum (minimum) nuqtasi bo‘lib, bu nuqtaning shunday yaqin atrofi mavjud bo‘lsaki, unga tegishli barcha M nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa, funksiyaning sof maksimum (sof minimum) nuqtasi esa uning sof maksimumi (sof minimumi) deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimumlari bitta nom bilan uning ekstremumlari deb ataladi.
Agar funksiya nuqtada ekstremumga ega bo‘lgan holda, bu nuqtada uning biror argumenti bo‘yicha chekli xususiy hosilasi mavjud bo‘lsa, u nolga teng bo‘ladi. Masalan, mavjud va chekli bo‘lsin, u vaqtda funksiyani qaralsa, u bir o‘zgaruvchili bo‘lib, nuqtada ekstremumga ega ekanligi va uning chekli hosilasi mavjudligidan bu nuqtada kelib chiqadi.
Bu yerda shuni ham aytamizki, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning barcha xususiy hosilalari nolga aylanadigan nuqtalar uning statsionar nuqtalari deb yuritiladi. Demak, statsionar nuqtalar ekstremum uchun «gumonli» nuqtalar hisoblanadi. Ya’ni ularning ba’zilari (yoki barchasi) ekstremum nuqtasi bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin.
n o‘zgaruvchili funksiyaning statsionar nuqtalarini topish
(13.15.1)
tenglamalar sistemasini yechish orqali amalga oshiriladi.
(13.15.1) o‘rniga
(13.15.2)
ni qarash mumkin. Yana ekstremum nuqtasida ba’zi xususiy hosilalar mavjud bo‘lmay qolishi yoki cheksizga aylanishi ham mumkin. Demak, ekstremumga «gumonli» nuqtalar qatoriga, statsionar nuqtalardan tashqari, funksiya xususiy hosilalarining barchasi mavjud bo‘lmaydigan yoki ulardan bir qismi nolga teng bo‘lib, qolganlari mavjud bo‘lmaydigan nuqtalarini ham qo‘shish kerak bo‘ladi.
Yuqorida aytilganlar ekstremumning zaruriy shartlaridan iboratdir, lekin, yetarli emasdir.
Endi, ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining yetarli shartlarini ko‘ramiz. Buni, avvalo, ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun qaraymiz. Aytaylik, qaralayotgan funksiyaning statsionar nuqtasi, ya’ni

bo‘lib, bu nuqtada funksiyaning ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalari mavjud bo‘lsin. U holda, Teylor formulasiga ko‘ra

tenglikni olamiz (0<<1). Agar

deb belgilasak, ikkinchi tartibli xususiy hosilalar uzluksiz ekanligidan

o‘rinli bo‘lib, bu yerda
Bularni hisobga olsak,

ni olamiz. Bundan ekanligidan va lar absolut qiymat jihatidan yetarlicha kichik bo‘lganda va bo‘lgan holda ning ishorasi ning ishorasi kabi bo‘lishini ko‘ramiz. Quyidagi hollarni qaraymiz:

1. 
   .
   

bo‘lib, o‘ng tomondagi ifoda ishorasi a₁₁ ning ishorasi bilan bir xil bo‘lib, bo‘lganda nuqtaning yaqin atrofida ekanligi, ya’ni bu nuqtada funksiya maksimumga ega; bo‘lganda esa, minimumga ega bo‘lishi kelib chiqadi;
2) bo‘lsin. bu yerda ham ikki holni qaraymiz.
a) bo‘lsa, noldan farqli deb faraz qilib,

ni olamiz. Oxirgi ifoda nisbatning qiymatiga bog‘liq ravishda o‘z ishorasini o‘zgartiradi, ya’ni nuqta yaqin atrofida turli ishorali qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Bu nuqtada ekstremum yo‘qligining nishonasidir.
b) bo‘lsa, deb faraz qilib,

ni olamiz. Bu holda ham oxirgi olgan ifoda nuqtaning yetarlicha yaqin atrofida ning qiymatiga bog‘liq ravishda ishorasini o‘zgartiruvchi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni nuqtada ekstremum yo‘q.
3) bo‘lgan holni tekshirmaymiz.
Endi, umumiy holni, ya’ni n o‘zgaruvchili funksiya uchun ekstremum yetarli shartini qaraylik. Aytaylik, funksiyaning statsionar nuqtasida barcha ikkinchi tartibli xususiy hosilalar mavjud va ular bu nuqtaning qandaydir atrofida uzluksiz bo‘lsin. U holda, Teylor formulasi yordamida

ni olish mumkin bo‘lib, bu yerda .
(13.15.3)
deb belgilasak, u holda, ikkinchi tartibli xususiy hosilalar uzluksizligidan

va Bularni hisobga olsak,
.
Bundan ko‘rinadiki, ekanligidan nuqtaning yetarlicha yaqin atrofida ning ishorasi
(13.15.4)
kvadratik shakl aniqlangan musbat yoki aniqlangan manfiy bo‘lsa, uning ishorasi bilan bir xil bo‘ladi.
Agar (aralash xususiy hosilalarning tengligi) ni e’tiborga olsak, (13.15.3) da bo‘lishi kelib chiqadi.
Oliy algebra kursidan ma’lumki,
(13.15.5)
kvadratik shakl uchun shunday m son topilib, bo‘lganda
(13.15.6)
o‘rinli bo‘lsa, bu kvadratik shakl aniqlangan musbat (aniqlangan manfiy) deb atalishi ma’lum, bu yerda .
(13.15.5) kvadratik shakl aniqlangan musbat (aniqlangan manfiy) bo‘lishi, ya’ni (13.15.6) bajarilishi uchun Stilvestrga qarashli zaruriy va yetarli shartni keltiramiz. Bu quyidagidan iboratdir:

o‘rinli bo‘lsa, (13.15.5) kvadratik shakl aniqlangan musbatdir. Barcha hadlar koeffitsientlarini qarama-qarshisiga o‘zgartirish bilan aniqlangan musbat shakl aniqlangan manfiy shaklga va, aksincha, aniqlangan manfiy shakl aniqlangan musbat shaklga aylanishidan foydalanib, aniqlangan manfiy shakl uchun yuqoridagi shartlardan 1-sining, 3-sining va hokazo, ya’ni 1-sidan boshlab, bittadan oralatib tengsizlik belgisini qarama-qarshisiga o‘zgartirish kifoyadir.
Bundan foydalanib, agar (13.15.4) kvadratik shakl aniqlangan musbat (aniqlangan manfiy) shakl bo‘lsa, statsionar nuqta funksiyaning minimum (maksimum) nuqtasi bo‘lishini ko‘rsatish mumkin. shuningdek, agar (13.14.4) kvadratik shakl aniqmas bo‘lsa, ya’ni statsionar nuqtaning har qanday yaqin atrofida ishorasini o‘zgartira olsa, bu statsionar nuqtada ekstremum yo‘qdir.
(13.15.5) kvadratik shaklni aniqlangan musbat (aniqlangan manfiy) ekanligini tekshirishda yuqorida keltirilgan Stilvestr usulidan boshqa uning matritsasining xos sonlari yordamida ham tekshirish usuli mavjud bo‘lib, uni keyinroq ko‘ramiz. Bunda
(13.15.7)
bo‘lib, bu yerda m yuqorida aytilgan xos sonlardan eng kichigi, M esa eng kattasidir. Oliy algebra kursida simmetrik matritsaning barcha xos sonlari haqiqiy ekanligi isbotlangandir. Demak, m va M lar mavjuddir.
Agar (13.15.5) ga e’tibor bersak, (13.15.4) kvadratik shakl matritsasining xos sonlarining barchasi musbat (manfiy) bo‘lsa, u aniqlangan musbat (aniqlangan manfiy) bo‘lib, statsionar nuqta yetarlicha yaqin atrofida ekanligi, ya’ni bu nuqtada funksiya minimumga (maksimumga) ega ekanligi kelib chiqadi. Agar xos sonlar ichida manfiyi ham musbati ham mavjud bo‘lsa, (13.15.4) kvadratik shakl statsionar nuqtaning xoxlagan yaqin atrofida ham ishorasini o‘zgartiruvchi bo‘lib, bu nuqtada ekstremum yo‘qdir. Xos sonlardan eng kattasi (yoki eng kichigi) nolga teng bo‘lgan holda (13.15.4) kvadratik shaklni yarim aniq manfiy (yarim aniq musbat) deb atalib, bu holda masala ochiq qolib, uni hal qilish uchun funksiyaning o‘ziga xos xossalaridan kerak bo‘lsa, uning yuqori tartibli xususiy hosilalaridan foydalanishga to‘g‘ri keladi (yuqorida ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ko‘rilgan 3 band shu holga to‘g‘ri keladi).