13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.17. Funksional determinantlar va matritsalar

Faraz qilaylik, n ta o‘zgaruvchilarning n ta

(13.17.1)
Funksiyalarining sistemasi berilgan bo‘lib, ularning har biri biror n o‘lchovli D sohada aniqlangan va unda barcha argumentlari bo‘yicha xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Bu funksiyalarning xususiy hosilalaridan tuzilgan

Yakobining funksional determinanti yoki (13.17.1) sistemaning Yakobiani deb ataladi. Qisqacha uni hosila belgisiga o‘xshash qilib,

kabi yozish qabul qilingan.
(13.17.1) funksiyalar sistemasidan tashqari R sohada aniqlangan va uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lgan
(13.17.2)
funksiyalarni olaylik va deb faraz qilaylik. Bu holda lar vositasidagi ning murakkab funksiyasidan iborat bo‘ladi. (13.17.2) sistema Yakobianini yozaylik:

Endi, (13.17.1) va (13.17.2) sistemalarning Yakobianlarini ko‘paytiraylik (satrni ustunga qoidasi bo‘yicha).





Yakobianning bu isbot qilingan xossasini qisqacha
(13.17.3)
ko‘rinishda yozish mumkin.
Agar t ga bog‘liq x ning bitta y funksiyasi bo‘lganda edi, murakkab funksiya hosilasi uchun ma’lum

formula kelib chiqar edi. Shunday qilib, Yakobianlarning bu xossasi murakkab funksiya hosilasi formulasini umumlashtirishdan iboratdir.
o‘zgaruvchilar mos ravishda larga aynan teng bo‘lgan maxsus holni qaraylik. Bu holda (13.17.2) sistema (13.17.1) ni ga nisbatan yechish natijasida vujudga keladi. Hosil qilingan (13.17.3) munosabat qaralayotgan holda

ko‘rinishni olib, bundan
(13.17.4)
ni olamiz. Bu (13.17.4) munosabat teskari funksiya hosilasining formulasini eslatadi.
Endi, umumiyroq holni qaraylik. Aytaylik, biror n o‘lchovli sohada n o‘zgaruvchili funksiyalarning
(13.17.5)
sistemasi berilgan bo‘lib, o‘zgaruvchilar o‘z navbatida biror k o‘lchovli P_k sohada k ta o‘zgaruvchilarning funksiyalari bo‘lsin:
(13.17.6)
bu yerda ham va funksiyalar o‘z aniqlanish sohasida barcha argumentlari bo‘yicha xususiy hosilalarga ega deb faraz qilib, quyidagi matritsalarni tuzamiz:
(13.17.5) sistema uchun
(13.17.7)
va (13.17.6) sistema uchun
. (13.17.8)
Bularni Yakobining funksional matritsalari deb ataladi.
Ma’lumki, (13.17.6) ni (13.17.5) ga qo‘yish natijasida m ta k o‘zgaruvchili murakkab funksiyalarning
(13.17.9)
sistemaga ega bo‘lamiz.
(13.17.9) sistema uchun yuqoridagilarga o‘xshash Yakobi funksional matritsasi
(13.17.10)
bo‘lishi ravshandir.
Endi, A va B larning ko‘paytmasini qarasak, u C dan iborat bo‘ladi. Haqiqatdan ham, murakkab funksiya xususiy hosilalari formulasiga ko‘ra

ga ega bo‘lamiz.

desak, (13.17.6) va (13.17.8) lar asosida matritsalarini ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra

ni olamiz. Demak, (13.17.10) ga asosan
(13.17.11)
ekan.
Xususiy holda k=m bo‘lib qolsa, (13.17.9) m o‘zgaruvchili m ta murakkab funksiyalarning sitemasiga aylanib qoladi, uning Yakobiani

bo‘lishi ravshandir.
Agar m=1 bo‘lsa, yuqorida olingan (13.17.11) formula murakkab funksiyani differensiallashning ma’lum

formulasiga o‘tadi.