13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.22. Egri chiziqqa urinma to‘g‘ri chiziq va normal tekislik

Aytaylik, fazoda egri chiziq o‘zining parametrik

(13.22.1)
tenglamalari bilan berilgan bo‘lsin. Parametrning qiymatiga egri chiziqning nuqtasi mos kelsin. Agar parametrga orttirma bersak, bu nuqta egri chiziqning qandaydir nuqtasiga qo‘zg‘aladi, bu yerda (13.21.1) parametrik tenglamalarga mos funksiyalarning orttirmalaridir. kesuvchini qarasak, bu to‘g‘ri chiziqning yo‘nalishi deb, vektorni olish mumkin (13.22.1-rasmga qarang).Bu vektorning koordinatalari bo‘lishi ravshandir. kesuvchining yo‘nalishi deb
(13.22.2)
n i qabul qilish ham mumkin, chunki dir.
Agar (13.22.1) parametrik tenglamalar t_o nuqtada differensiallanuvchi va

deb faraz qilinsa, va buning natijasida kesuvchi limitik holatga intlishi kelib chiqadi. Ana shu to‘g‘ri chiziq egri chiziqqa M_o nuqtada o‘tkazilgan urinma deb qabul qilinadi. Bu urinmaning yo‘nalishining koordinatalarini deb qabul qilish mumkin, chunki (13.22.2) da dagi limitga o‘tilsa,

bo‘ladi. Albatta, urinma yo‘nalishini ga kollinear bo‘lgan ixtiyoriy vektor bilan almashtirish ham mumkin,masalan,

bilan.
Endi urinma tenglamasini yozish qiyin emas
yoki
Agar yuqorida aytilgan ma’noda egri chiziqqa M_o nuqtasidagi urinma mavjud bo‘lsa, bu urinmaga urinish nuqtasi orqali perpendikulyar qilib o‘tkazilgan tekislik egri chiziqqa M_o nuqtasidagi normal tekislik deb ataladi (13.22.1-rasmda tekislik).
Normal tekislik tenglamasi

bo‘lishini ko‘rish qiyin emas.


13.23. Sirtga urinma tekislik va normal

Bu yerda o‘zining ko‘rnishdagi tenglamasi bilan berilgan sirtni qaraymiz va uning nuqtasida (ya’ni ) , xususiy hosilalar mavjud hamda ulardan aqalli bittasi noldan farqli deb faraz qilamiz. Undan tashqari, shu nuqta orqali sirtda yotuvchi va shu nuqtada urinmasi mavjud bo‘lgan cheksiz ko‘p egri chiziqlar o‘tadi deb faraz qilamiz.

Aytaylik, l egri chiziq sirtda yotgan holda M₀ dan o‘tib, uning parametrik tenglamalari

bo‘lsin hamda t parametrning qiymatiga sirtning (shu bilan birga l egri chiziqning ham) nuqtasi mos kelsin. Undan tashqari, lar mavjud va ulardan aqalli bittasi noldan farqli bo‘lsin. U vaqtda, l egri chiziqning M₀ nuqtasidagi urinmasi mavjud va uning yo‘nalishi bo‘ladi.
Endi, l chiziqning parametrik tenglamalari u sirtda yotganligi sababli sirt uning tenglamasini ayniyatga aylantirishini hisobga olib, ya’ni

ni to‘liq hosila formulasiga binoan differensiallasak,

ni olamiz. Bunda desak M₀ nuqta uchun
(13.23.1)
ga ega bo‘lamiz.
Olingan (13.23.1) ayniyat sirtda yotuvchi va M₀ nuqtadan o‘tib shu nuqtada urinmasi mavjud bo‘lgan barcha egri chiziqlar uchun o‘rinlidir.
Endi, va
vektorlarni kiritsak, vektor l egri chiziqqa bog‘liq bo‘lmay, esa l ning yo‘naltiruvchisidir. Bu vektorlar orqali (13.23.1) ni

ko‘rinishda yozish mumkin bo‘lib, egri chiziqqa urinma yo‘nalishi (demak, urinmaning o‘zi ham) vektorga pependikulyar ekanligini olamiz, l egri chiziqlarni turli holatlarini olib (13.23.1-rasmda l₁ va l₂ holatlarda ko‘rsatilgan), vektorga perpendikulyar turli urinmalarga ega bo‘lamiz. Ularning barchasi bitta tekislikda yotishi ravshandir. Ana shu tekislik sirtga uning M₀ nuqtasidagi urinma tekislik deb qabul qilinadi.

13.23.1-rasm.
Bu urinma tekislik nuqta orqali o‘tib, ga perpendikulyar ekanligidan uning tenglamasi
(13.23.2)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Xususiy holda, sirt tenglama orqali berilgan bo‘lsa, uning tenglamasini ko‘rinishda yozsak, (13.23.2) urinma tekislik tenglamasini

ko‘rinishda olish mumkin bo‘lib, bu yerda dir.
Yuqoridagi yo‘nalishda M₀ nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni (ya’ni, urinma tekislikka urinish nuqtasi orqali o‘tkazilgan perpendikulyar to‘g‘ri chiziqni ) sirtning M₀ nuqtasidagi normali deyiladi.
Normal tenglamasi.

ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emasdir.