13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.20. Funksiyalarning bog‘liqsizligi (erkli bo‘lishi) haqida tushuncha

Biror n o‘lchovli D sohada, o‘zlarining barcha xususiy hosilalari

bilan birgalikda aniqlangan va uzluksiz bo‘lgan m ta
(13.20.1)
funksiyalarning sistemasini qaraylik. Bulardan birortasi, masalan ,
qolganlarining funksiyasi bo‘lishi mumkin:
(13.20.2)
bu yerda  funksiya nuqta n o‘lchovli D sohada o‘zgarganda (13.20.1)
asosida nuqta hosil qiladigan m o‘lchovli R sohada uzluksiz funksiya va
y uzluksiz xususiy hosilalarga ega deb faraz qilamiz. Bu vaqtda, y_j funksiya D sohada
(13.20.1) funksiyalarning boshqalariga bog‘liq deb aytiladi.
Masalan, xususiy holda -o‘zgarmas bo‘lsa, ish yuqoridagidek bo‘ladi; bu holda (13.20.2) da -deb olish kifoya qiladi.
Agar D sohada aniqlangan funksiyalardan bittasi (qaysi biri bo‘lsa ham, bari bir) qolganlariga bog‘liq bo‘lsa, umuman ularni D sohada bog‘liq funksiyalar deb ataydilar.
Misol tariqasida n o‘lchovli fazoda aniqlangan funksiyalarning

sistemasini qarasak,

ayniyat o‘rinli ekanligini tekshirib ko‘rish qiyin emas. Demak, yuqoridagi sistema bilan aniqlangan funksiyalar n o‘lchovli fazoda bog‘liq ekan.
Agar D sohada yoki uning biror qismida (13.20.2) shakldagi bog‘lanish sodir (o‘rinli) bo‘lmasa, funksiyalar D sohada bog‘liqsiz (erkli) deb ataladi.
Funksiyalarning bog‘liqsizligi haqidagi savolga, bu funksiyalar barcha erkli o‘zgaruvchilari bo‘yicha olingan xususiy hosilalaridan tuzilgan
(13.20.3)
Yakobi matritsasi javob beradi.
Quyidagi teoremalar o‘rinlidir.
13.20.1 –teorema. Agar bo‘lib (13.20.3) Yakobi matritsasining m-tartibli minorlaridan aqalli bittasi D sohada noldan farqli ya’ni (13.20.1) sistemaning Yakobi funksional matritsasining rangi m ga teng bo‘lsa, bu sohada funksiyalar erklidir.
Isbot. Umumiylikka ta’sir qilmagan holda, (13.20.3) matritsaning birinchi m ta ustuni va barcha satrlaridan tuzilgan m –tartibli minor
(13.20.4)
bo‘lsin.
Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni funksiyalardan biri, masalan , qolganlari orqali ifodalangan, demak, D sohaning, hech bo‘lmaganda, biror D₀ qismida:
(13.20.5)
bo‘lsin.
(13.20.5) ni o‘zgaruvchilarning har biri bo‘yicha differensiallab (D₀ da)

larni olamiz. Bundan ko‘rinadiki, (13.20.4) ning m –satri birinchi m-1 ta satrlarini mos ravishda

larga ko‘paytirib, so‘ngra ularni qo‘shiq natijasidan iborat bo‘lib qolar ekan. Bunday determinant nolga teng bo‘lishi bizga ma’lum . bu esa teorema shartiga ziddir. Kelib chiqqan qarama-qarshilik qilingan farazning noto‘g‘ri ekanligini, ya’ni funksiyalar bog‘liq bo‘laolmasligini ko‘rsatadi.
13.20.2 –teorema. Faraz qilaylik, D sohada Yakobi matritsasining rangi uchun bo‘lsin, u vaqtda D sohaning biror D₀ qismida m ta funksiyalardan tasi erkli bo‘lib, qolganlari ularga bog‘liqdir.
Isbot. Umumiylikka ta’sirsiz holda, D sohaning biror nuqtasida noldan farqli Yakobi matritsasining tartibli minori
(13.20.6)
bo‘lsin deb faraz qilaylik. Xususiy hosilalarning uzluksizligidan, bu hol aytilgan biror D₀ atrofida yuz beradi, demak, 13.20.1–teoremaga ko‘ra funksiyalar bu atrofda erklidir.
Ikkinchi tomondan 13.18.1–teoremaga asosan, barcha o‘zgaruvchilarning o‘zgarishini chegaralasak, (13.20.1) tenglamalarning dastlabki  tasini
(13.20.7)
ko‘rinishda yozib; larni bu tenglamalarga kiruvchi qolgan o‘zgaruvchilarning bir qiymatli
(13.20.8)
funksiyalari qilib aniqlash mumkin. Qaralayotgan nuqtaning yetarlicha
yaqin atrofida (13.20.7) va (13.20.8) sistemalar teng kuchlidir.
Endi bo‘lsa, (13.20.1) sistemaning tenglamalariga
(13.20.8) ni qo‘yib, qaralayotgan atrofda

larni olamiz.
Agar funksiyalar o‘zgaruvchilarga bog‘liq emasligini
ko‘rsata olsak masala hal bo‘ladi.
Buni bo‘lgan holda uchun bajaraylik (qolganlari uchun ham
shunga o‘xshash bo‘ladi). Buning uchun
(13.20.9)
tenglamalarning aynan bajarilishini ko‘rsatish kifoyadir. Masalan,
bu tenglikni uchun ko‘rsataylik, qolganlari ham shunga o‘xshashdir.
(13.20.1) da (13.20.8) o‘rniga qo‘yilgan deb faraz qilsak va
o‘zgaruvchilarni qaralayotgan atrofda tayinlasak, ni
ning murakkab funksiyasi deb qarash mumkin. Bu holda
13.17 bandda ko‘rilgan Yakobianning hosilasiga ko‘ra

o‘rinlidir. Ammo, o‘ng tomondagi birinchi ko‘paytuvchi (13.20.3)
matritsaning -tartibli minoridir, demak, teorema shartiga binoan u
aynan nolga teng. Shu sabali chapdagi Yakobian ham aynan nolga tengdir,
uning qiymati esa dan bo‘yicha olingan xususiy hosiladir, ya’ni

ekan.
Shunday qilib, (13.20.9) o‘rinli bo‘lib, u ning larga
bog‘liq emasligini ko‘rsatadi. Demak, funksiya , ya’ni faqat
ga bog‘liq ekan. Qolganlari uchun ham xuddi shunday hol yuz
beradi. Teorema isbotlandi.