13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.19.2. Lagranjning aniqmas ko‘paytuvchilar uslubi

Yuqorida bayon qilingan usulda o‘zgaruvchilarning bir qismi erkli, ikkinchi qismi esa erksiz, ya’ni ular birinchi qism o‘zgaruvchilarining funksiyalari deb qaraladi. Ba’zan bu hol hisoblashlarni murakkablashtiradi. Lagranj barcha o‘zgaruvchilar bir xil erkli bo‘ladigan uslubni ishlab chiqqan.

(13.19.8) tenglamalarning har birini hozircha noma’lum bo‘lgan sonlarga ko‘paytirib, natijalarni (13.19.6) ning mos tenglamalariga hadlab qo‘shamiz va ushbuni hosil qilamiz:
, (13.19.12)
bu yerda dx_n+1 , … , dx_n+m ilgaridek (13.19.4) funksiyalarning differensiallarini bildiradi va hosilalar M₀ nuqtada hisoblangan deb faraz qilamiz.
Endi, ko‘paytuvchilarning qiymatlarini shunday tanlab olamizki, dx_n+1 , … , dx_n+m erksiz differensiallar koeffitsientlari nolga aylansin:
. (13.19.13)
Bunday lar mavjud, chunki larga nisbatan (13.19.13) chiziqli sistema determinanti (13.19.3) bo‘lib, yuqorida qilingan faraz bo‘yicha u noldan farqli. Ko‘paytuvchilarning bunday tanlangan qiymatlari uchun (13.19.12) tenglik
(13.19.14)
shaklni oladi va bu yerda faqat erkli dx₁ , … , dx_n differensiallar bilan ish ko‘ramiz. Shuning uchun ularning koeffitsientlari statsionar M₀ nuqtada nolga teng bo‘lishi kerak, ya’ni (13.19.13) bilan bir qatorda
(13.19.15)
ga ega bo‘lamiz.
Shunday qilib, (n+m) ta x₁,x₂,…,x_n+m noma’lumlarni va m ta «aniqmas» ko‘paytuvchilarni aniqlash uchun yetarli tenglamalar sistemasiga, ya’ni m ta (13.19.1) bog‘lanish tenglamalariga (n+m) ta
(13.19.16)

tenglamalarga egamiz ((13.19.13) va (13.19.15) ga qarang).

Bu tenglamalar sistemasini hosil qilishni oddiylashtirish maqsadida, odatda, yordamchi
(13.19.17)
funksiya kiritiladi (uni Lаgranj funksiyasi deb yuritiladi). Bu vaqtda (13.19.1) va (13.19.16) tenglamalardan iborat sistemani ushbu
(13.19.18)
ko‘rinishda yozish mumkin bo‘ladi. Bu sistema F funksiyaning odatdagi ekstremumi zaruriy shartidan kelib chiqadigan sistemadir. Uni yechib, (13.19.17) funksiya kritik nuqtasini shu bilan birga (13.19.1) bog‘lanish shartini qanoatlantiruvchi f funksiyaning kritik nuqtasini topamiz.
Keltirilgan Lаgranj usuli ham shartli ekstremum zaruriy shartini qanoatlantiruvchi nuqtani aniqlab beradi, lekin u yetarli emasdir.