13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

Yuqorida (8-bobga qarang) bitta o‘zgaruvchining (argumentning) qiymatiga ko‘ra ikkinchi o‘zgaruvchining (funksiyaning) qiymtini aniqlovchi bog‘lanishni ko‘rdik va uni ma’lum shartlarda funksiya deb atadik. Bu bir o‘zgaruvchili (argumentli) funksiyadir. Tabiatda uchraydigan kattaliklar orasida faqat bittagina o‘zgaruvchiga emas, balki bir necha o‘zgaruvchilarga bog‘liqlari ko‘p uchraydi. Masalan, kvadratning yuzi o‘z tomoni ning bir o‘zgaruvchili funksiyasidir: ; agar to‘g‘ri to‘rtburchakni olsak, uning yuzi bo‘yi va enini ifodalvochi va o‘zgaruvchilarning funksiyasidir: ; xuddi shunga o‘xshash, to‘g‘ri burchakli parallelepipedni qarasak, uning hajmi asosidagi to‘g‘ri to‘rtburchak tomonlari va lar, hamda balandligi ning, ya’ni parallelepiped uch o‘lchovining funksiyasidir: . Bular bir, ikki va uch o‘zgaruvchili (argumentli) funksiyalarning misollaridir.

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning umumiy ta’rifini berishdan oldin uning uchun zarur bo‘lgan ba’zi bir tushunchalarni kiritib olamiz.


13.1. o‘lchovli fazo

Sonlar o‘qidagi nuqta bitta son bilan, koordinatalar tekisligidagi nuqta ikkita son bilan va koordinatalar fazosidagi nuqta esa uchta son bilan aniqlanishini hamda mos ravishda va kabi belgilanishini bilamiz (3-bobga qarang).

Agar koordinatali nuqta tushunchasi kiritilsa, o‘lchovli fazoni quyidagicha aniqlash mumkin bo‘ladi. Har bir nuqtasi koordinatali bo‘lgan fazoni o‘lchovli deymiz va bilan belgilaymiz. Masalan, sonlar o‘qi bir o‘lchovli , koordinatalar tekisligi ikki o‘lchovli va koordinatalar fazosi uch o‘lchovli fazodir.
o‘lchovli fazoda quyidagilarni qabul qilamiz:
1) va nuqtalar ustma-ust tushsa,
(13.1.1)
va, aksincha, (13.1.1) bajarilsa, va lar ustma-ust tushadi;
2) berilgan va nuqtalar orasidagi masofa sifatida
(13.1.2)
ni;
3) agar son va nuqta berilgan bo‘lsa,


a) (13.1.3)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi - o‘lchovli fazo nuqtalarining to‘plamini - o‘lchovli shar, - ni uning radiusi, ni esa markazi deb;
b) (13.1.4)
tenglamani qanoatlantiruvchi - o‘lchovli fazo nuqtalarining to‘plamini - o‘lchovli sfera, - ni uning radiusi, ni esa markazi deb;
c) (13.1.5)
ni qanoatlantiruvchi - o‘lchovli fazo nuqtalarining to‘plamini
- o‘lchovli yopiq shar, - ni uning radiusi, ni esa markazi deb;
4) a) elementlari - o‘lchovli nuqtalardan iborat bo‘lgan to‘plamni o‘lchovli to‘plam deb;
b) agar bo‘lib, chekli mavjud bo‘lsa, ni to‘plamning diametri deb, mavjud bo‘lmasa, ning diametri cheksiz deb;
5) Agar da nuqta berilgan bo‘lsa, uchun to‘plamni nuqtaning atrofi deb;
ni esa, yaqin (qisqa) atrofi deb;

13.1.1 –rasm. 13.1.2 –rasm.

6) agar fazodan olingan to‘plamning elementi o‘zining qandaydir atrofi bilan birga unga kirsa, ni to‘plamning ichki nuqtasi deb ( uchun 13.1.1-rasm) ;

7) Agar fazodan to‘plam olingan bo‘lib, nuqtaning yaqin atrofida to‘plamga tegishli bo‘lgan ham tegishli bo‘lmagan ham nuqtalar mavjud bo‘lsa, yoki bo‘lib, hamda uning qandaydir yaqin atrofi esa ga tegishli bo‘lsa, nuqtani to‘plamning chegaraviy nuqtasi deb ( uchun 13.1.2 _a,b -rasm) ; ( ham bo‘lishi ham mumkin);
8) fazodan olingan to‘plamning barcha chegaraviy nuqtalari to‘plamini to‘plam chegarasi deb (13.1.2-rasmda Г chiziqlar); masalan, (13.1.4) bilan aniqlangan sfera (13.1.3) sharning ham (13.1.5) yopiq sharning ham chegarasidir;
9) agar da tayinlangan esa qo‘zg‘aluvchi nuqtalar bo‘lib, bo‘lganda deb, bu yerda bo‘lishini osongina isbotlash mumkin;
10) Barcha nuqtalari ichki bo‘lgan to‘plamni ochiq to‘plam deb; shu bilan birga nuqtani o‘z ichiga oluvchi chekli diametrli ochiq to‘plamni uning atrofi deb, nuqtasiz esa uning yaqin (qisqa) atrofi deb;
11) Agar nuqta to‘plamga tegishli bo‘lib, uning shunday qisqa atrofi mavjud bo‘lsaki, bu qisqa atrofda to‘plamning nuqtasi bo‘lmasa, uni to‘plamning yakkalangan nuqtasi deb (13.1.3-rasm);
1 2) Agar nuqtaning ixtiyoriy
yaqin atrofida to‘plamning nuqtasi mavjud
bo‘lsa, ni to‘plamning limitik (quyuqlik)
nuqtasi deb; chegaraviy va ichki nuqtalar
ta’riflaridan ko‘rinadiki, ular to‘plamning
limitik (quyuqlik) nuqtalaridan iboratdir; shuningdek, quyuqlik nuqtasi to‘plamga tegishli bo‘lishi ham tegishli bo‘lmasligi ham mumkin;
13) barcha limitik (quyuqlik) nuqtalarini (agar ular mavjud bo‘lsa) o‘z ichiga oluvchi to‘plamni yopiq to‘plam deb;
14) limitik (quyuqlik) nuqtalari to‘plami o‘zidan iborat bo‘lgan to‘plamni mukammal to‘plam deb.
Bu yerda shuni ham aytamizki, faqatgina bo‘lganda , ya’ni sonlar o‘qi tartiblashgan bo‘lib, bo‘lganda fazo tartiblashmagandir.
1- eslatma. Yuqorida 2) bandda kiritilgan ikki nuqta orasidagi masofa quyidagi xossalarga ega ekanligiga osongina ishonch hosil qilish mumkin:
a) bo‘lishi uchun va nuqtalarning ustma-ust tushishi zarur va yetarlidir;
b) va nuqtalar berilgan bo‘lsa,
(13.1.6)
(uchburchak xossasi).
Haqiqatdan ham, deb faraz qilib,

belgilash asosida (13.1.6) ni (13.1.2) ga ko‘ra

ko‘rinishga keltirsak, uni Shvarsning
(13.1.7)
tengsizligi yordamida isbotlash osondir. (13.1.7) esa ifoda uchun manfiy emasligi yordamida ko‘rsatiladi.