13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

1-misol. Tajriba asosida x va y o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish quyidagi jadval ko‘rinishda aniqlangan bo‘lsin:

x	-1	0	2	3
y	0,2	1,5	4,2	5,7

Bu o‘zgaruvchilar orasidagi taxminiy bog‘lanish topilsin.
Yechish: koordinatalar tekisligida nuqtalarni quramiz.



13.24.1 –rasm.

13.24.1-rasmdan ko‘rinadiki, nuqtalar qandaydir to‘g‘ri chiziq atrofida guruhlashgandir. Demak, chiziqli bog‘lanishni tanlaymiz:

Noma’lum B₀ va B₁ parmetrlarni (13.24.6) formulalar yordamida hisoblash mumkin. Hisoblarni osonlashtirish maqsadida quyidagi jadvaldan foydalanamiz:

i	xi	yi	xiyi
1 2 3 4	-1 0 2 3	0,2 1,5 4,2 5,7	-0,2 0 8,4 17,1	1 0 4 9
	4	11,6	25,3	14

Demak,

2-misol. Tajribada olingan

x	-2	0	1	2	3
y	4,8	0,9	2,2	5,1	9,9

jadval bo‘yicha x va y lar orasidagi bog‘lanishni aniqlang.

Yechish. Koordinatalar tekisligida nuqtalarni quramiz.

13.24.2 –rasm.
13.24.2-rasmdan ko‘rinadiki, qurilgan nuqtalar qandaydir parabola atrofida guruhlashgandir. Shuning uchun bog‘lanishni

ko‘rinishda tanlaymiz. U holda (13.24.9) sistema

ko‘rinishni oladi. Bu sistemaning yoyilgan ko‘rinishi

bo‘ladi.
Oxirgi sistemaning koeffitsientlarini hisoblashni osonlashtirish maqsadida quyidagi jadvalni tuzamiz:

i	xi	yi	xi yi		yix
1 2 3 4 5	-2 0 1 2 3	4,8 0,9 2,2 5,1 9,9	-9,6 0 2,2 10,2 29,7	4 0 1 4 9	19,2 0 2,2 20,4 89,1	-8 0 1 8 27	16 0 1 16 81
	4	22,9	32,5	18	130,9	28	114

Demak,

sistemaga egamiz. Bu sistemani Jordan-Gaus usuli yordamida echaylik.

Demak, y=1,0480+0,0711x+0,9653x²


13-bobga doir mashqlar

1. Funksiyaning aniqlanish sohacini toping.

1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. .
2. Funksiyaning xususiy hosilalarini toping.
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. ,
7. .
3. Quyidagi funksiyalarning berilgan nuqtadagi xususiy hosilalarini hisoblang.
1. ,
2. ,
3. ,
4. .
4. Quyidagi munosabatlarning o‘rinli ekanligi tekshirilsin.
1. bo‘lsa, .
2. bo‘lsa, .
3. bo‘lsa, .
4. bo‘lsa, .
5. bo‘lsa, .
5. Quyidagi funksiyaning to‘liq differensialini toping.
1. ,
2. .
3. ,
4. ,
5. ,
6. ,
7. ,
8. .

6. Funksiyaning hosilasini toping.

1. - o‘zgarmas.
Javob:
Agar bo‘lsa, , agar bo‘lsa, .
2. .
Javob: .
7. Oshkormas funksiyaning hosilasini toping.


8. funksiyaning nuqtadagi Ox o‘q bilan 60⁰ li burchak hosil qiluvchi yo‘nalish bo‘yicha hosilasi topilsin.
Javob: .
9. funksiyaning nuqtadagi shu nuqtadan nuqtaga boradigan yo‘nalish bo‘yicha hosilasi topilsin.
Javob:
10. funksiyaning nuqtadagi gradienti topilsin.
Javob:
11. funksiyaning nuqtadagi gradientini toping.
Javob:
12. Quyidagi funksiyaning uchinchi tartibli xususiy hosilalarini toping.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
13. bo‘lsa, bo‘lishini isbotlang.
14. bo‘lsa, bo‘lishini isbotlang.
15. bo‘lsa, bo‘lishini ko‘rsating.
16. Quyidagi funksiyaning ekstremumlarini toping.
1)
Javob: nuqtada funksiya minimumga ega .
2)
Javob: nuqtada funksiya minimumga ega .
3)
Javob: nuqtada funksiya minimumga ega .
4)
Javob: nuqtada funksiya maksimumga ega minimumga ega .
5)
Javob: nuqtada funksiya minimumga ega .
6)
Javob: nuqtada funksiya maksimumga ega .
13-bob bo‘yicha o‘z bilimingizni sinab ko‘ring

1. 
   Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaga olib keladigan misollardan keltiring.
   
2. 
   Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaga ta’rif bering.
   
3. 
   Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning geometrik ma’nosini tushuntiring.
   
4. 
   Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning limitini ta’riflang.
   
5. 
   Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligini ta’riflang.
   
6. 
   Uzluksiz funksiyalarning xossalarini ayting.
   
7. 
   Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalariga ta’rif bering.
   
8. 
   Xususiy hosilani topishning asosiy qoidasini keltiring.
   
9. 
   Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning to‘liq orttirmasini yozing.
   

10.Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning to‘liq differensialini
ta’riflang.
11. Murakkab funksiyani differensiallash formulasini yozing.

12. 
    To‘liq hosilaning formulasini yozing.
    
13. 
    Oshkormas ko‘rinishda berilgan funksiyaning differensiallash formulalarini yozing.
    
14. 
    Yo‘nalish bo‘yicha hosilani topish formulasini yozing.
    
15. 
    Ikki va uch o‘zgaruvchili funksiyalar gradientining formulalarini yozing.
    
16. 
    Sirtga o‘tkazilgan urinma va normal tenglamalarni yozing.
    
17. 
    Yuqori tartibli xususiy hosilalar haqida tushuncha bering.
    
18. 
    Yuqori tartibli to‘liq differensialni topishning umumiy formulasini yozing.
    
19. 
    Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun Teylor formulasini yozing.
    
20. 
    Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumi haqida tushuncha bering.
    
21. 
    Shartli ekstrmum haqida tushuncha bering.