13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

Yechish: (13.18.4) ni x bo‘yicha differensiallaymiz:

Bu sistema determinanti

Kramer formulalari bo‘yicha:

Endi, (13.18.4) ni y bo‘yicha differensiallaymiz:

Yuqoridagidek:

larni olamiz.
Nihoyat, eng sodda holni, ya’ni
(13.18.5)
Ikki o‘zgaruvchili tenglama bilan aniqlanadigan bir o‘zgaruvchili oshkormas funksiyani qaraylik. Bu yerda x argument y funksiya deb olib, uni differensiallaylik. U vaqtda,
(13.18.6)
tenglamaga kelamiz. Bu o‘rinda (13.18.5) tenglama (13.18.1) sistemaning bo‘lgan xususiy holi ekanligini va bu holda uning y ga nisbatan Yakobiani

bo‘lishini aytamiz. Bu hol uchun yuqorida keltirilgan teorema shartlari bajariladi deb faraz qilsak,

bo‘ladi va demak, (13.18.6) dan
(13.18.7)
ni olamiz. Bu (13.18.5) tenglama vositasida berilgan bir o‘zgaruvchili oshkormas funksiyaning hosilasi formulasidir.
Olingan (13.18.7) formulaning har ikki tomonini differensiallab,
va hokazo formulalarni olish mumkin.
Albatta buning uchun F dan kerakli tartibli uzluksiz xususiy hosilalar mavjudligini talab qilish kerak bo‘ladi.
2-misol. oshkormas funksiyaning hosilalari topilsin.
Yechish. Tenglamada x argument y funksiya deb faraz qilaylik.
Uni differensiallab,

ni topamiz.
Buni yana bir marta differensiallasak,

bo‘ladi va hokazo.
3-misol. tenglama bilan berilgan y oshkormas funksiyaning ekstremumini toping.
Yechish. Bu yerda desak,

bo‘lib, (13.18.7) formulaga ko‘ra

Kritik nuqtani topamiz:

buni oshkormas funksiya tenglamasiga qo‘yib,

tenglamani olamiz. Bundan va ya’ni va kritik nuqtalarga ega bo‘lamiz. Endi, uchun chiqarilgan formulada ekanligini hisobga olsak, bu kritik nuqtalarda

ni olamiz. .
Endi, nuqtani qarasak, bu nuqtada ham nolga aylanadi, shu sababli, oshkormas funksiya mavjudlik sharti buzilganligi uchun, bu nuqtani qaramaymiz.
Ikkinchi nuqtada

Demak, bu nuqtada maksimumga egamiz: .
Endi, da lar argumentlar u funksiya deb faraz qilinsa, n o‘zgaruvchili oshkormas funksiya tenglamasiga ega bo‘lamiz. Bu yerda ham F funksiya barcha argumentlari bo‘yicha xususiy hosilalarga ega va deb faraz qilib, oshkormas funksiyaning xususiy hosilalari uchun
(13.18.8)
formulani olish qiyin emas.
4-misol. Faraz qilaylik, x va y ning oshkormas z funksiyasi

tenglamadan aniqlansin (ellipsoid). Xususiy hosilalarini toping.
Yechish.



.
Va hokazo, shu yo‘sinda ixtiyoriy tartibli xususiy hosilalarni topish mumkin.