13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.19.3. Shartli ekstremum uchun yetarli shartlar

Bu yerda f va funksiyalarning o‘z aniqlanish sohasida ikkinchi tartibli xususiy hosilalari mavjud va uzluksiz deb faraz qilamiz. nuqta ko‘paytuvchilar bilan birga, yuqorida (13.19.18) bilan tayinlangan zaruriy shartni qanoatlantiradi deb faraz qilaylik.

Bu nuqtada shartli ekstremumning borligi, 13.15 bandda ko‘rilganidek,

funksiya orttirmasiga bog‘liq, biroq bu yerda farq shundaki, nuqta ham (13.19.1) yoki, baribir, (13.19.4) ko‘rinishdagi bog‘lanish tenglamalarini qanoatlantiradi. Bunday nuqtalar uchun, f funksiyaning orttirmasini (13.19.17) bilan kiritilgan F funksiyaning orttirmasi bilan almashtirish mumkinligini tushunish qiyin emas (bunda deb hisoblaymiz).
.
M₀ nuqtada (13.19.18) shart bajarilganidan, bu orttirmani, Teylor formulasiga asosan, quyidagicha yozish mumkin:
,
bu yerda
va dir ((13.19.4) funksiyalar uzluksiz bo‘lganidan qolgan ham kelib chiqadi).
Endi, ning yuqorida olingan ifodasida orttirmalarni differensiallar bilan almashtirish natijasida erkli o‘zgaruvchilar uchun cheksiz kichik miqdorlar saqlanib qoladi, erksiz qatnashgani esa boshqa biror cheksiz kichikka almashadi:

Differensiallarga o‘tishning foydasi shundaki, erkli va erksiz differensiallar (13.19.8) chiziqli munosabatlar bilan bog‘langan, farazga ko‘ra (13.19.3) determinant M₀ nuqtada noldan farqli bo‘lganligi sababli, erksiz differensiallar erkli differensiallar orqali chiziqli ifodalanadi. Ularning ifodalarini ga qo‘yib, birinchi yig‘indi o‘rnida differensiallarga nisbatan quyidagi kvadratik shaklga ega bo‘lamiz:
,
bu yerda koeffitsientlar koeffitsientlar orqali, lar esa cheksiz kichik miqdorlar orqali chiziqli ifodalangan bo‘ladi. Shu sababli, .
Agar qavslar ichidagi birinchi qo‘shiluvchidan iborat bo‘lgan
(13.19.19)
kvadratik shakl qaralayotgan nuqtaning yetarlicha yaqin atrofida ishorasini saqlasa, ya’ni aniqlangan bo‘lsa, ekanligidan ham shu ishoraga ega bo‘ladi, agar (13.19.19) kvadratik shakl aniqlanmagan bo‘lsa, yuqorida aytilgan atrofda ishorasini saqlamaydi. Demak, (13.19.19) kvadratik shakl aniqlangan musbat (aniqlangan manfiy) bo‘lsa, kritik nuqtada minimum (maksimum) ga egamiz, aniqlanmagan bo‘lsa, bu nuqtada ekstremum yo‘q. Bu o‘rinda shuni eslatamizki, agar (13.19.19) kvadratik shakl aynan nolga teng yoki yarim aniq (ya’ni musbat emas yoki manfiy emas) bo‘lsa, funksiyaning o‘ziga xos xossalaridan, kerak bo‘lsa, ikkinchi tartibli xususiy hosilalaridan yuqoriroq tartiblilaridan foydalanishga to‘g‘ri keladi.
Ushbu

kvadratik shaklning eng katta va eng kichik qiymatlarini
(13.19.20)
shartda topaylik.
Avvalo, (13.19.20) shartni qanoatlantiruvchi nuqtalar orasida f funksiyani eng katta va eng kichik qiymatlariga erishtiruvchilari haqiqatdan ham mavjudligini ko‘rsataylik. Buning uchun o‘zgaruvchilardan birini, masalan, x_n ni qolganlari orqali, (13.19.20) yordamida, ifodalab, masalani

ikkita funksiyani (n-1) o‘lchovli

yopiq sharda tekshirishga keltiramiz. Bu funksiyalar chegaralangan yopiq sohada uzluksiz ekanligidan, Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga binoan, unda o‘zlarining eng katta va eng kichik qiymatlarini qabul qiladilar. Demak, ning (13.19.20) bog‘lovchi tenglamani qanoatlantiruvchi shartli ekstremumining mavjudligiga shubha yo‘qdir.
Lаgranj funksiyasini tuzamiz:

bunga mos (13.19.18) sistema tenglamalarining birinchi qismi
(13.19.21)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Endi, larning barchasi, (13.19.20) shart asosida, birdaniga nolga teng bo‘la olmasligi sababli tenglamalarning bir jinsli sistemasining noldan farqli yechimi mavjud bo‘lishi shartiga ko‘ra ga nisbatan
(13.19.22)
tenglamani olamiz. Bu tenglamaning haqiqiy ildizlarini topib, ularni (13.19.21) sistemaga qo‘yish natijasida uning noldan farqli yechimlari topiladi. Albatta, bu yechimlar cheksiz ko‘p bo‘lib, ulardan (13.19.20) shartni qanoatlantiruvchilari ajratib olinadi. Bu o‘rinda shuni ham aytamizki, f ni aniqlovchi kvadratik shakl simmetriklik xossasiga egaligi sababli (13.19.22) ning ildizlarining barchasi haqiqiy bo‘lishi oliy algebra kursida isbotlangandir. Undan tashqari (13.19.21) sistemaning (13.19.20) shartni qanoatlantiruvchi yechimlarini topishning xojati ham yo‘qdir, chunki, agar (13.19.22) ning ildizi bo‘lsa, (13.19.21) ning i - tenglamasini ga ko‘paytirib, hosil bo‘lgan tenglamalarni hadlab qo‘shilsa,

ni, bundan esa, (13.19.20) ni hisobga olib,

ekanligini olamiz. Demak, son (13.19.22) tenglamaning haqiqiy ildizi bo‘lsa, (13.19.20) shartni qanoatlantiruvchi (13.19.21) sistemaning yechimi mavjud bo‘lib, bu nuqtada f ning qiymati ga teng bo‘lar ekan.
Shunday qilib, ajoyib bir xulosaga kelamiz: (13.19.20) shart bajarilganda f kvadratik shaklning eng katta va eng kichik qiymatlari mos ravishda (13.19.22) tenglama ildizlarining eng kattasi va eng kichigiga tengdir. Kezi kelganda (13.19.22) ning ildizi bo‘lgan ni oliy algebra kursida - kvadrat matritsaning xos soni deyilishini eslatamiz.
Yuqorida ko‘rilgan xususiy masala natijasidan (13.19.19) ifodani tekshirishda foydalanishimiz mumkin. Buning uchun

miqdorni kiritib, va

deb belgilab, (13.19.19) kvadratik shaklni

ko‘rinishda yozib olamiz. Bundan bo‘lganligi uchun oxirgining ishorasini, demak, (13.19.19) kvadratik shaklning ham
(13.19.23)
kvadratik shakl aniqlashi kelib chiqadi. Agar ning kiritilishini hisobga olsak,
(13.19.24)
bo‘lib, undan tashqari (13.19.23) da dir.
Agar (13.19.24) shartdagi (13.19.23) kvadratik shakl eng katta va eng kichik qiymatlarini topish masalasini qarasak, bu yuqorida ko‘rilgan masalaning o‘zidan iboratdir.
Shunday qilib, (13.19.22) tenglamani yechib, uning ildizlari orasidan eng kichik va eng kattasini aniqlaymiz. Agar ular bir xil ishorali bo‘lsa, (13.19.19) kvadratik shakl aniqlangan bo‘lib, ildizlar ishorasi qanday bo‘lsa, shunday ishorali bo‘ladi; aks holda aniqlanmagan bo‘ladi. Ma’lumki, agar (13.19.19) kvadratik shakl aniqlangan manfiy (aniqlangan musbat) bo‘lsa, F funksiya maksimum (minimum) ga ega, mos ravishda f funksiya (13.19.1) bog‘lovchi tenglamalarni qnoatlantiruvchi shartli maksimum (minimum) ga ega bo‘ladi; aks holda ya’ni (13.19.19) kvadratik shakl aniqlanmagan bo‘lsa, F funksiya M₀ nuqtada ekstremumga, mos ravishda f funksiya (13.19.1) ni qanoatlantiruvchi shartli ekstremumga ega bo‘lmaydi. Yuqorida aytganimizdek, (13.19.19) kvadratik shakl aynan nolga teng yoki noaniq bo‘lgan hol bundan istesnodir. 13.19.1–bandda ko‘rilgan masalani Lagranj usuli yordamida echaylik. Buning uchun Lagranj funksiyasini tuzamiz:
. (13.19.25)
Buning xususiy hosilalarini nolga tenglab, kritik nuqta uchun quyidagi sistemani olamiz:
(13.19.26)
Bundan, , ya’ni
(13.19.27)
ni olamiz.
Endi, ning bosh qismi bo‘lgan (13.19.19) kvadratik shaklni tuzamiz.
Buning uchun F ning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:

Kritik nuqtada


(13.19.10) bog‘lanish tenglamasini differensiallab, quyidagini olamiz:

Buni uchun olingan yuqoridagi taqribiy ifodaga qo‘yib,

ni olamiz, bu yerda - Kronekker belgisidir (2-bobga qarang).
Soddalik uchun n=3 bo‘lgan holni qaraymiz. Bu vaqtda uchun
olingan so‘ngi taqribiy ifodadagi kvadratik shakl matritsasi
bo‘lib,

Bundan ko‘rinadiki, . Endi, (13.19.21)
tenglamani tuzamiz:

Bu kvadrat tenglama diskriminanti:

Undan tashqari, D ni boshqacharoq tekshirsak,

Demak, .
U vaqtda, ildizlar

ya’ni kvadratik shakl aniqlangan musbat ekan, demak, shartli minimumga egamiz. (13.19.27) va (13.19.28) larni e’tiborga olib, miss sim bo‘laklari ko‘ndalang kesimi uchun

qiymatlarni olamiz, bunda

Endi, topilgan shartli minimum eng kichik qiymat ekanligini ko‘rsatish kerak xolos. Buning uchun yana bog‘liqlik tenglamasiga murojaat qilsak, undagi yig‘indi belgisi ostidagi har bir qo‘shiluvchi musbat ekanligidan

ni, bundan esa

shartni olamiz. Endi, birorta bo‘lsa, qolganlari (13.19.10) dan bo‘lishi va bundan (13.19.9) dan ekanligi kelib chiqadi. Shunga o‘xshash, birorta . Demak, eng kichik qiymat kritik nuqtadadir.