13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.21 . Birjinsli funksiyalar

Birjinsli ko‘phadlar deb bir xil o‘lchovli (darajali) hadlardan tuzilgan ko‘phadlarga aytiladi. Masalan, ifoda ikkinchi darajali (kvadratik) birjinsli ko‘phaddir. Agar bu ko‘phaddagi x va y o‘zgaruvchilarni biror t songa ko‘paytirilsa, ko‘phadning qiymati t² ga ko‘payishi aniqdir. Bu xossa barcha birjinsli ko‘phadlar uchun ham o‘rinli bo‘lishini payqash qiyin emas.

Biroq, murakkabroq tabiatli funksiyalar ham shu xossaga ega bo‘lishi mumkin.
13.21.1-ta’rif. Agar D sohada aniqlangan n argumentli funksiyaning barcha argumentlarini t>0 ga ko‘paytirilganda bo‘lib, funksiya qiymati t^m ga ko‘paysa, ya’ni
(13.21.1)
tenglik D sohasida aynan bajarilsa, uni m-darajali birjinsli funksiya deb aytiladi.
Endi m-darajali birjinsli funksiyaning umumiy ifodasini hosil qilishga harakat qilaylik.
Avval, nolinchi darajali birjinsli funksiya bo‘lgan holni qaraymiz. Bu vaqtda

o‘rinli bo‘lib, unda deb,

ni olamiz.
Agar (n-1) ta u₁,u₂,…,u_n-1 argumentlarning

funksiyasini kiritsak, quyidagini hosil qilamiz:

Demak, nolinchi darajali birjinsli funksiyani argumentlari nisbatlarining funksiyasi sifatida ifodalash mumkin ekan. Buning teskarisi ham to‘g‘ri, ya’ni yuqoridagi tenglik, nolinchi darajali birjinsli funksiyaning umumiy ifodasini beradi.
Agar darajali birjinsli funksiya bo‘lsa, uning ga nisbati nolinchi darajali birjinsli funksiya bo‘ladi:

Demak, m-darajali birjinsli funksiyaning ushbu umumiy ko‘rinishini hosil qilamiz:

Misol: uchun



Endi, m-darajali birjinsli funksiya (soddalik uchun uch argumentli funksiyani qaraymiz) D sohada barcha argumentlari bo‘yicha xususiy hosilalarga ega deb faraz qilaylik . D sohadan ixtiyoriy nuqtani olib, istalgan uchun (13.21.1) ga asosan

ga ega bo‘lamiz. Bu tenglikni t bo‘yicha differensiallasak,
.
Bu yerda t=1 desak va nuqtani ixtiyoriy (x,y,z) nuqta deb faraz kilsak
(13.21.2)
kelib chiqadi. (13.21.2) Eyler tenglamasi deb ataladi. Demak, uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lgan har bir m-darajali birjinsli funksiya (13.21.2) tenglamani qanoatlantiradi. Buning teskarisi ham to‘g‘ridir, ya’ni uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lgan va (13.21.2) Eyler tenglamasini qanoatlantiruvchi funksiya m-darajali birjinsli funksiyadir. Haqiqatdan ham, yuqoridagi shartlarni qanoatlantirsa , nuqtani D sohada tayinlab , t ning ( ) ushbu funksiyasini tuzib,

uni differensiallasak,

Bu yerda (13.21,2) da x,y,z lar o‘rniga qo‘yilgan holni hisobga olsak, suratdagi ifoda nolga tengligi, ya’ni bundan esa o‘zgarmas ekanligi kelib chiqadi. ni aniqlovchi ifodada t=1 desak

ni olamiz. Shunday qilib,

yoki

Bu esa m-darajali birjinsli funksiya ekanligini tasdiqlaydi.
Demak, (13.21.2) Eyler tenglamasi ham (13.21.1) kabi m-darajali birjinsli differensiallanuvchi funksiyani tavsiflaydi.