13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.24. Eng kichik kvadratlar usuli

Tajriba asosida x va y o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish quyidagi jadval ko‘rinishida aniqlangan bo‘lsin:

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

Bu jadvaldan foydalanib, y=y(x) funksional bog‘lanishni topishga harakat qilamiz. Tekislikda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasini kiritib, unda ( ) nuqtalarni quramiz. Izlanayotgan funksional bog‘lanish noma’lumligi sababli, uni shunday tanlashimiz kerakki, funksiyaning grafigi mumkin qadar ( ) nuqtalar to‘plami ichidan o‘tsin. Umumiy holda funksiyani

(13.24.1)
ko‘rinishda izlaymiz, bu yerda f yuqorida aytilganlarni hisobga olgan holda tanlangan funksiyalarning biror sinfiga tegishli bo‘lgan funksiya bo‘lib, lar uning hozircha noma’lum parametrlaridir.
Bu paremetrlarni
(13.24.2)
funksiya, o‘zining eng kichik qiymatiga erishadigan qilib tanlaymiz. Mana shu eng kichik kvadratlar usulining mazmunidir. Buning uchun (13.24.2) funksiyaning ekstremumini zaruriy sharti asosida parametrlarga nisbatan
(13.24.3)
tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz va uni yechib, noma’lum parametrlarning qiymatlarini topamiz.
Masalan, ( ) ( ) nuqtalar koordinatalar tekisligida biror to‘g‘ri chiziq atrofida guruhlashgan bo‘lsin. U holda (13.24.1) funksional bog‘lanishni
(13.24.4)
chiziqli funksiya ko‘rnishida qidirish tabiiydir.
(13.24.4) ni (13.24.2) ga qo‘yib,
(13.24.5)
ni olamiz. (13.24.5) dan esa (13.24.3) ning quyidagi

ko‘rinishiga ega bo‘lamiz. Bundan va noma’lum parametrlarga nisbatan

tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Uni yechib,
(13.24.6)
noma’lum parametrlarning qiymatlarini olamiz.
turli ekanligidan bo‘lishini ko‘rsatish mumkin. Haqiqatdan ham,

bo‘lib, deb olsak, oxirgi
(13.24.7)
ko‘rinishga keladi. Undan tashqari,
(13.24.8)
ekanligini ko‘rish qiyin emas.
(13.24.7) ning o‘ng tomonidagi kvadratik shakl matritsasi - barcha elementlari 1 dan iborat bo‘lgan n –tartibli kvadrat matritsa bo‘lib, uning xos sonlari 0 va n dan iborat ekanligini ko‘rsatish mumkindir. Demak, (13.24.8) shartda (13.19.1 bandga qarang)

bo‘lib, tenglik belgilaridan o‘ngdagisi bo‘lgan holda to‘g‘ri keladi, buning esa bo‘lishi mumkin emas, chunki, argumentning jadval qiymatlari bo‘lganligi sababli ular turlicha bo‘lib, mos lar ham turlichadir. Demak,

o‘rinlidir.
Yuqoridagi belgilashlar asosida


kelib chiqadi.
Amaliy masalalarni hal qilishda, aksariyat hollarda (13.24.1) funksional bog‘lanishni qandaydir ko‘phad ko‘rinishida qidiriladi, ya’ni

deb olinadi (bu yerda ). U holda, larni aniqlash uchun eng kichik kvadratlar usuli asosida
(13.24.9)
sistemaga kelish qiyin emas. Endi misollar keltiraylik.