13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

Yechish. Uchburchak tomonlarini desak, Geron formulasiga binoan:
.
Bunga ni
qo‘ysak, .
Bu funksiyaning
sohadagi (13.16.3-rasm) eng katta qiymatini
topishimiz kerak bo‘ladi.
Soha ichida yotuvchi statsionar nuqtani topamiz:


Bu xususiy hosilalarni nolga tenglash natijasida quyidagi sistemaga kelamiz:

Bundan soha ichki nuqtasi uchun

sistemani olamiz va undan bo‘lishi kerakligi kelib chiqadi. Demak,

Bu statsionar nuqtada bo‘lib, soha chegarasida esa, S=0 ekanligini ko‘rish qiyin emas. Demak, funksiya statsionar nuqtada eng katta qiymatga erishadi. Shunday qilib, bu masalada ham perimetri berilgan uchburchaklar orasida eng katta yuzaga ega bo‘ladigani teng tomonlisi ekan.
3-masala. Biror gaz (masalan, havo) porshenli kompressorda P₀ bosimdan P>P₀ bosimgacha qisiladi deb faraz qilaylik. Bu vaqtda, 1kg gazni qisish uchun sarflanadigan ish quyidagicha ifodalanadi:
,
bu yerda P - har bir gaz uchun o‘zgarmas miqdor-«gaz doimiysi», T₀ – qisishgacha bo‘lgan absolut temperatura  esa, kompressorning konstruksiyasiga bog‘liq bo‘lgan biror 1dan katta sondir.
Yuqoridagi formuladan ko‘rinadiki, T₀ boshlang‘ich temperatura qancha past bo‘lsa, A ish shuncha oz sarflanadi. Katta miqdorda qisish kerak bo‘lganda, sarf qilinadigan ishni tejash masalasi muhimdir, buning uchun butun qisish jarayonini bir necha bosqichlarga bo‘ladilar va bosqichlar orasida qisilgan (shu bilan isitilgan) gazni sovutadilar.
Masalan, yana T₀ temperaturadagi ikkita oraliq sovutkich bilan ta’minlangan uch bosqichli kompressorni olaylik. Agar P₁ va P₂ orqali birinchi va ikkinchi bosqichlar oxiridagi bosimlarni belgilasak, butun qisish uchun bajariladigan umumiy ish ushbudan iborat bo‘ladi:
.
Ushbu savolning qo‘yilishi tabiiydir: berilgan bo‘lsa, sarflanadigan ish miqdori eng kam bo‘lishi uchun oraliq P₁ va P₂ bosimlarni qanday tanlash kerak?
Yechish. O‘zgarmas ko‘paytuvchi va qo‘shiluvchilar P₁ va P₂ larning tanlanishiga tasir qilmasligini e’tiborga olsak,
(13.16.1)
funksiyani tekshirishga kelamiz, bu yerda
.
Agar kiritilgan bu o‘zgaruvchilar ko‘paytmasini hisoblasak,
(13.16.2)
o‘zgarmasdir, bu yerda .
Demak, (13.16.1) tenglama bilan berilgan u funksiyaning x>0, y>0, z>0 va (13.16.2) shartni qanoatlantiruvchi eng kichik qiymatini topish masalasiga kelamiz.
Endi, (13.16.2) dan z ni x va y lar orqali ifodalab, (13.16.1) ni
(13.16.3)
ko‘rinishga keltiramiz va bu funksiyaning statsionar nuqtasini topamiz.

Topilganlarni (13.16.2) ga qo‘yib, ni ham olamiz.
Bu statsionar nuqtada ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni hisoblaylik:


Demak, nuqtada (13.16.3) tenglama bilan aniqlangan u funksiya o‘zining minimumiga erishadi. Endi, P₁ va P₂ larni aniqlaymiz.

ya’ni P₀, P₁, P₂, P sonlar geometrik progressiya tashkil qilishi kelib chiqadi. Bu progressiya maxrajini topaylik.

Demak,

ya’ni yuqorida aytilgan uch bosqichli kompressorda oraliq bosimlar

bo‘lganda eng kam ish sarflanar ekan.