13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.12. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya birinchi tartibli to‘liq differensiali shaklining saqlanishi (invariantligi)

Aytaylik, funksiya uzluksiz xususiy hosilalarga ega va lar o‘z navbatida t va v o‘zgaruvchilarning funksiyalari

bo‘lib, funksiyalar ham uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Bu holda u murakkab funksiyaning t va v bo‘yicha xususiy hosilalari mavjud va ular uzluksiz bo‘ladi.
Agar erkli o‘zgaruvchilar bo‘lsa, u funksiyaning to‘liq differensiali
(13.12.1)
bo‘lar edi. Qaralayotgan holda esa u funksiya lar vositasidagi t va v ga bog‘liqdir. Demak, bu o‘zgaruvchilarga nisbatan
(13.12.2)
bo‘lishi kerak. Murakkab ko‘p o‘zgaruvchili funksiya xususiy hosilalarining formulasiga binoan

larga ega bo‘lamiz. Bularni (13.12.2) ga qo‘yib,

ni olamiz. Qavslar ichidagi ifodalar t va v ning funksiyalari deb qaralgan larning to‘liq differensiallaridir, demak,

ni, ya’ni (13.12.1) ko‘rinishni olamiz. Biroq bu olingan ifodada lar oraliq funksiyalarning to‘liq differensiallaridan iborat bo‘lib, (13.12.1) da esa ular argumentlarining orttirmalaridan iborat edi, ya’ni ular bir xil ma’noga ega emas. Shunday qilib, bir o‘zgaruvchili funksiyadagi kabi, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning ham birinchi tartibli to‘liq differensiali invariantlik xossasiga egadir.

13.13. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli xususiy hosilalari va differensiallari

Bu yerda ham soddalik uchun funksiya ikki o‘zgaruvchili bo‘lgan holni qaraymiz. Aytaylik, funksiya biror (ochiq) D sohada argumentlaridan birortasi bo‘yicha xususiy hosilaga ega bo‘lsa, u o‘z navbatida x, y ning funksiyasi sifatida, biror nuqtada xususiy hosilalarga ega bo‘lishi mumkin. Dastlabki funksiya uchun bu xusususiy hosilalar ikkinchi tartibli xususiy hosilalar yoki ikkinchi xususiy hosila deb yuritiladi. Bu holda xususiy hosilani birinchi xususiy hosila deb qabul qilamiz.

Masalan, birinchi xususiy hosila x bo‘yicha olingan bo‘lsa, uning x, y bo‘yicha olingan xususiy hosilalari ya’ni ikkinchi xususiy hosilalar quyidagicha belgilanadi:

yoki
.
Xuddi shunga o‘xshash, birinchi xususiy hosila y bo‘yicha olingan bo‘lsa, undan x va y bo‘yicha xususiy hosilalar olib,

yoki
.
Umuman, agar funksiyaning (n-1) – tartibli xususiy hosilalari olingan bo‘lsa, undan olingan xususiy hosilalar n –tartibli xususiy hosilalar deb ataladi.
Misollar. 1) bo‘lsin, bu holda:




Va hokazo.
2) ni olsak, oldinroq

ekanligini olgan edik.




3) berilgan bo‘lib, lar ikkinchi tartibgacha hosilalari mavjud bo‘lgan funksiyalar bo‘lsin. U holda, z

tenglamani qanoatlantirishini ko‘rsataylik.



Yuqorida keltirilgan misollardan birinchisida
;
ikkinchisida esa,

ekanligini ko‘rish mumkin. Ularni aralash xususiy hosilalar deb ataladi. Bu misollarda bir xil tartibli aralash xususiy hosilalarni olish argumentlarining tarkibi bir xil bo‘lganda ular tengdir. Bu hol tasodifiy bo‘lmay umumiydir. Ya’ni bir xil tartibli xususiy hosilalarni olish bo‘yicha argumentlar tarkibi bir xil bo‘lgan barcha aralash xususiy hosilalar qaralayotgan nuqtada mavjud va uzluksiz bo‘lsa, ular teng bo‘lishi isbotlangandir.
Yuqori tartibli differensiallar tushunchasi bu yerda ham bir o‘zgaruvchili funksiyadagi kabi kiritiladi masalan, yuqori tartibli xususiy differensiallar uchun formulalar bir o‘zgaruvchili funksiyadagi bilan aynan bir xildir. Buni ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun qarasak, n – tartibli xususiy differensiallar deb

qabul qilinadi (n=2;3;…; d¹=d). Shu sababli ularga to‘xtab o‘tirmaymiz.
n –tartibli to‘liq differensial deb, ta’rif bo‘yicha

qabul qilinadi.
Bu yerda ikki o‘zgaruvchili funksiyani qaraymiz. Uni berilgan nuqtada yetarlicha tartibli uzluksiz xususiy hosilalari mavjud va lar o‘zgarmas deb faraz qilamiz. Endi, ikkinchi tartibli to‘liq differensial uchun formula chiqaraylik:

.
Bu ikkinchi tartibli to‘liq differensial formulasi bo‘lib, uni shartli ravishda

ko‘rinishda yozish mumkin bo‘lib, bu yerda

deb qabul qilamiz.
Yuqoridagiga o‘xshash,

va nihoyat, n –tartibli to‘liq differensial uchun

«simvolik» formulani olish mumkin. Bu formulada

deb qabul qilish kerak bo‘ladi ( ).
Agar m o‘zgaruvchili funksiyani olsak, uning n –tartibli to‘liq differensiali uchun ham

«simvolik» formula o‘rinlidir. Bu yerda

deb qabul qilamiz ( ).
Eslatma. Ikkinchi va undan yuqori tartibli to‘liq differensiallar uchun umumiy holda invariantlik xossasi o‘rinli emas. Ammo, oraliq argumentlar yakuniy argumentlarning (erkli o‘zgaruvchilarning) chiziqli funksiyalari bo‘lgan holda bu invariantlik xossasi saqlanadi.

13.14. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya uchun Teylor formulasi.

Agar bir o‘zgaruvchili funksiya nuqtada - tartibligacha uzluksiz hosilalari mavjud bo‘lsa, uning Teylor formulasi bo‘yicha yoyilmasi

(0<<1) ekanligini bilamiz. Endi, faraz qilib, bu formulani

ko‘rinishda yozish mumkin (bu yerda dir).
Ikki argumentli funksiyani qaraylik, u tayinlangan nuqta atrofida -tartibgacha uzluksiz xususiy hosilalarga ega deb faraz qilaylik. va orttirmalarni shunday beraylikki, va nuqtalarni tutashtiruvchi kesma nuqtaning ko‘rilayotgan atrofidan chiqmasin.
(13.14.1)
tenglikning to‘g‘ri ekanligini isbotlaylik (bu yerda dir).
Buning uchun yangi t o‘zgaruvchini
(13.14.2)
tenglamalar yordamida kiritamiz. (13.14.2) ni ga qo‘yib, bitta t o‘zgaruvchining murakkab

funksiyani hosil qilamiz.
Kiritilgan (13.14.2) tenglamalar geometrik jihatdan va nuqtalarni tutashtiruvchi kesmani ifoda qilishi bizga ma’lum.
Bular asosida

ekanligini tushunish qiyin emas.
Endi, ga yuqoridagi Teylor formulasini qo‘llasak,
(13.14.3)
ga ega bo‘lamiz (bu formulaning o‘ng tomoniga kirgan dt turli darajalari bilan birga ga tengdir).
Endi, o‘zgaruvchilarni chiziqli almashtirish natijasida hatto yuqori tartibli differensiallar ham shaklini saqlab qolishidan (invariantlik xossasi) foydalanib, ushbuni yoza olamiz:

va hokazo. Nihoyat, (n+1)-differensial uchun

bularni (13.14.3) ga qo‘yib, (13.14.1) ni olamiz.
Shunday qilib, differensial shaklda yozilgan Teylor formulasi ko‘p o‘zgaruvchili funksiya uchun ham bir o‘zgaruvchili funksiyadek kabi sodda ko‘rinishga ega ekan. Ammo, uni argumentlar bo‘yicha yozilgan ko‘rinishi ancha murakkabdir. Masalan, ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun uning birinchi uchta hadi quyidagichadir:

Xuddi shunga o‘xshash ishni n o‘lchovli fazoga tegishli M₀ nuqtaning atrofida (m+1)- tartibgacha xususiy hosilalari uzluksiz bo‘lgan funksiya uchun bajarib, quyidagicha Teylor formulasiga ega bo‘lamiz:
(13.14.4)
bu yerda