13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.9. Ko‘p o‘zgaruvchili murakkab funksiyaning xususiy hosilalari.
To‘liq hosila formulasi

Umumiylikka halal bermagan holda, mulohazalarimiz soddaroq bo‘lishi uchun, ikki o‘zgaruvchili murakkab funksiya ustida ish ko‘ramiz.

Aytaylik, funksiya biror D sohada, funksiyalar esa, biror D₀ sohada aniqlangan bo‘lib, ularning qiymatlaridan tuzilgan nuqta bo‘lsin. U vaqtda, biz D₀ sohada aniqlangan ikki o‘zgaruvchili murakkab funksiyaga ega bo‘lamiz. Bu yerda asosiy argumentlar (erkli o‘zgaruvchilar) x va y lar bo‘lib, u va v oraliq argumentlardir.
D₀ sohaga tegishli nuqtada funksiyalar differensiallanuvchi bo‘lib, nuqtada ham differensiallanuvchi bo‘lsin, bu yerda .
Endi, nuqtani nuqtaga qo‘zg‘ataylik, ya’ni ni o‘zgartirmagan holda ga orttirma beraylik. Buning natijasida

xususiy orttirmalarga va ularning ta’sirida

funksiya orttirmasiga ega bo‘lamiz. Oxirgi olingan munosabatdan ko‘rinadiki, natija funksiyaning to‘liq orttirmasiga o‘xshasada, aslida, u x argument bo‘yicha xususiy orttirmadir.
,  va  funksiyalar differensiallanuvchi ekanligidan

munosabatlar o‘rinlidir. Bu yerda ,
.
Bularni hisobga olib,
.
Ya’ni,
(13.9.1)
formulani olamiz.
Xuddi shunga o‘xshash
(13.9.2)
formula ham olinadi.
Umumiy holda, m o‘zgaruvchili differensiallanuvchi

funksiyaning argumentlari o‘z navbatida

n ta argumentlarning (erkli o‘zgaruvchilarning) differensiallanuvchi funksiyalari bo‘lsa, bu holda
(13.9.3)
formula o‘rinlidir.
Endi, oraliq argumentlar bitta o‘zgaruvchining funksiyalari bo‘lgan holni qaraylik, ya’ni

bo‘lsin, u holda bir o‘zgaruvchili ya’ni faqat t ning funksiyasi bo‘lib qoladi va uning hosilasi uchun (13.9.3) dan
(13.9.4)
ni olamiz. Bu to‘liq hosila formulasi deb yuritiladi.
Xususiy holda, erkli o‘zgaruvchi t sifatida oraliq o‘zgaruvchilardan birortasi olingan bo‘lsa, masalan, funksiyada bo‘lsa,
(13.9.5)
formulani olamiz.
ikki o‘zgaruvchili funksiyada bo‘lsa,
(13.9.6)
formulaga ega bo‘lamiz.

13.10. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya uchun chekli