13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.6. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi


13.6.1-ta’rif. Agar funksiya n o‘lchovli fazoning nuqtasi atrofida aniqlangan bo‘lib,
(13.6.1)
o‘rinli bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, y bir o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi ta’rifidan deyarli farq qilmaydi. Shu sababli ilgari ko‘rilgan uzluksiz funksiyalarning xossalari bu yerda ham o‘z kuchida qoladi.
Bu yerda shuni ham aytamizki, agar funksiya yopiq sohada aniqlangan bo‘lib, uning chegaraviy nuqtasi bo‘lsa, (13.6.1)
(13.6.2)
ko‘rinishida yozishga to‘g‘ri keladi, ya’ni intilish M nuqta sohadan chiqmagan holda bo‘lishi kerak. Bu bir o‘zgaruvchili funksiya uchun o‘ng va chap limitlarning ko‘p o‘zgaruvchili funksiyadagi namunasidir.
13.6.2-ta’rif. Agar funksiya D sohaning barcha nuqtalarida uzluksiz bo‘lsa, uni D sohada uzluksiz deyiladi.
13.6.3-ta’rif. Agar funksiya yopiq sohada aniqlangan bo‘lib, D sohada uzluksiz hamda ning barcha chegaraviy nuqtalarida ham uzluksiz, bo‘lsa, uni yopiq sohada uzluksiz deyiladi.
Bir o‘zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning barcha xossalari ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar uchun ham saqlanib qoladi. Bu yerda ga mos tushunchalarga o‘tib olish kerak bo‘ladi, masalan, kesmada uzluksiz bo‘lgan bir o‘zgaruvchili uzluksiz funksiya xossalarini, da yopiq sohada uzluksiz funksiya xossalari deb qarash lozim.
Masalan, Veyershtrass va Koshining birinchi va ikkinchi teoremalari hamda Kantor teoremasi va boshqalar.
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning yuqorida kiritilgan uzluksizligi tushunchasidan tashqari uning har bir argumenti bo‘yicha uzluksizligi tushunchasi ham mavjuddir. Soddalik uchun bu tushunchani ikki o‘zgaruvchili funksiyada ko‘ramiz.
Agar funksiya nuqtaning qandaydir atrofida aniqlangan bo‘lib, bir o‘zgaruvchili funksiya x₀ nuqtada uzluksiz bo‘lsa, ya’ni
(13.6.3)
o‘rinli bo‘lsa, funksiya nuqtada x argumenti bo‘yicha uzluksiz, xuddi shunga o‘xshash
(13.6.4)
o‘rinli bo‘lsa, y argumenti bo‘yicha uzluksiz deyiladi.
Bu yerda shuni ham aytamizki, agar ko‘p o‘zgaruvchili funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u bu nuqtada barcha argumentlari bo‘yicha uzluksiz bo‘ladi, lekin buning aksinchasi hamma vaqt ham o‘rinli bo‘lavermaydi.
Masalan,

funksiyani qarasak, u nuqtada va uning atrofida aniqlangan. Undan tashqari bu funksiyaning nuqtadagi limiti mavjud emasligini oldinroq ko‘rsatgan edik, demak, u nuqtada uzluksiz emas. Ammo,


ya’ni, bu funksiya nuqtada har ikkala argumenti bo‘yicha ham uzluksizdir.
Agar funksiya biror nuqtaning qandaydir yaqinida aniqlangan bo‘lib, bu nuqtada uzluksiz bo‘lmasa, u vaqtda nuqta funksiyaning uzilish nuqtasi deyiladi. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning uzilish nuqtalari to‘plami biror chiziqni, sirtni ifodalashi ham mumkin.
Masalan, ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun , ya’ni chiziqning barcha nuqtalari uzilish nuqtalari bo‘lsa, uch o‘zgaruvchili funksiya uzilish nuqtalarining to‘plami ya’ni markazi koordinata boshida radiusi 1 ga teng sfera sirtidan iboratdir.